Xpoint
   [напомнить пароль]

Что такое информация?

Метки: [без меток]
2006-08-12 10:54:15 [обр] Даниэль Алиевский(6/125)[досье]

Обсуждение вопросов в теме уважаемого Евгения Тарасова навело меня на мысль: почему не спросить у умных людей, что они думают по означенному вопросу? Вопрос меня интересует очень давно, так как имеет некое отношение к моим собственным довольно смутным изысканиям.

Итак, какие есть у кого мысли по этому поводу?

Само собой, теоретико-информационное определение меня не интересует. Слишком часто его недостаточно. Например, сколько информации в моем учебнике по HTML? Синонимы: сколько я из него узнаю, насколько он поможет моему обучению, какой из учебников наиболее информативен. Вряд ли, когда мы задаем такой вопрос, нас интересует, допустим, объем заархивированного текстового файла. Или энтропия учебника, рассматриваемого как физическое тело.

Чтобы уточнить, чего я хочу от определения понятия информация (впрочем, какое уж там определение - хоть каких-то уточнений смысла), повторю вопросы, которые я задал в теме Евгения. Хотелось бы, чтобы наши соображения по теме помогли на них ответить.

  1. Вижу я гуся и думаю - сколько он весит? (Конечно, подразумеваю массу.) Спрашиваю вас, вы взвешиваете гуся и говорите - M килограммов. Получил я информацию? Вроде да. Мне становится интересно, и я спрашиваю - а какой объем занимает этот гусь? Вы кладете гуся в ванну, меряете объем вылившейся воды и говорите - V кубических дециметров. Опять я узнал что-то новое. Заинтригованный, я спрашиваю - ну, а насколько же плотен сей гусь? Вы делите M на V и отвечаете - M/V граммов на кубический сантиметр. Вопрос: получил ли я информацию (сведения, знания) в последнем ответе? Казалось бы, о внешнем мире я ровно ничего нового не узнал. Желаемая информация о гусе - плотность - уже содержалась в числах M и V; поделить M на V я мог и сам.
  1. Если принять, что последний ответ не несет информации, то как быть с математикой? Все, что делают математики - извлекают следствия из аксиом. Вся информация о математических объектах полностью заложена в аксиомах и определениях этих объектов. Получается, что за всю историю все математики мира не получили ни бита информации - другими словами, не узнали ровно ничего нового. Вывод явно сомнительный. Мне, как математику, доводилось подолгу пытаться доказать трудную теорему - либо пытаться подобрать контрпример, - потому что мне зачем-либо (скажем, для написания алгоритма) было необходимо узнать, верна ли она. Что же именно я узнавал, найдя доказательство? Если это знания, то знания о чем? Во всей Вселенной не найти ни одного предмета, к которому относились бы эти сведения - ведь окружающий мир вовсе не нужен, чтобы придумать аксиомы и начать извлекать из них следствия.
  1. Повторяю вопрос об учебнике HTML (или любом другом осмысленном тексте). Можно ли хоть как-то подойти к оценке количества информации, который там содержится?
  1. (Вытекает из вопроса #3.) С точки зрения "здравого смысла", фраза "я тебя люблю" несет больше информации, чем фраза "AKSDUILAI34J" (которую я только что "случайно" настучал на клавиатуре). А вот с точки зрения теории информации, конечно, случайная цепочка символов (читай - выбранная из равномерно распределенного множества всех возможных цепочек заданной длины) несет максимум информации. Получается, что мы непременно должны вводить понятие "полезности", а не просто объема в битах. Можно ли как-нибудь подойти к этому?

Может быть, для изучения вопроса стоит перейти к модели, где в качестве источника и получателя информации выступают компьютеры (вернее, алгоритмы)? Все-таки, в отличие от неподдающейся экспериментальному изучению человеческой души, алгоритмы вполне конечны.

спустя 2 часа 6 минут [обр] Дмитрий Донцов+++(9/68)[досье]

Даниэль Алиевский[досье]

Вся информация о математических объектах полностью заложена в аксиомах и определениях этих объектов. Получается, что за всю историю все математики мира не получили ни бита информации - другими словами, не узнали ровно ничего нового.

На мой взгляд, абсолютно правильный вывод. Это относится вообще ко всему. Например - луна, со всеми своими характиристиками (размером, составом, весом и прочими НЕИЗВЕСТНЫМИ Вам характеристиками) существует независимо от вашего восприятия и ваших знаний о предмете. Информация заложена во всем (есть изначально), а наблюдатель только "считывает" информацию, но не создает ее.

Э.М. Ремарк "Черный обелиск":

Вот видите этот камень, когда я поворачиваюсь к нему спиной он исчезает, его нет. А как только я поворачиваю голову в его сторону, он мгновенно появляется.

За точность цитаты не ручаюсь, но смысл такой, так и с информацией - вы смотрите на предмет и получаете о нем информацию - цвет, размер и т.д. Если вы видите предмет впервые, то для Вас это новая информация, но на самом деле она существовала еще до того, как вы обратились к ней.

Что было, то и будет, и что делалось, то и будет делаться, и нет ничего нового под солнцем. Бывает нечто, о чем говорят: "смотри, вот это новое"; но это было уже в веках, бывших прежде нас.
Книга Екклесиаста [9:10]

Ваш пример с учебником тоже вписывается в данную концепцию - информация о HTML уже была, просто ее нашли, кто сделал это первым - не принципиально, потому что на месте первого мог быть любой, именно потому что информация эта уже существовала.
Транзисторы -> Компьютеры -> Язык человека в язык машины -> Программирование -> Обмен информацией между машинами -> Представление информации -> HTML

Цепочка состряпана на коленке и не идеальна, но принцип получения информации думаю понятен.

спустя 8 минут [обр] GRAy(3/259)[досье]
Вы делите M на V и отвечаете - M/V граммов на кубический сантиметр. Вопрос: получил ли я информацию (сведения, знания) в последнем ответе? Казалось бы, о внешнем мире я ровно ничего нового не узнал.
Как же не узнали - вы узнали значение плотности, некую её меру, с помощью которой можете сравнивать плотность этого конкретного гуся и некого другого. Каким путём была получена эта мера, по большому счёту, не имеет значения, т.к. любое знание так или иначе происходит от другого знания. Само существование гуся есть основа наличия у него неких характеристик, но эти характеристики будучи от него отделёнными и представленными в виде некой абстракции (числа, например - число ведь тоже абстракция) становятся самостоятельными объектами изучения. Таким образом вся информация дейтсвительно как бы изначально заложена в окружающий нас мир. Каким бы способом мы её не получали - она была там всегда, а наше "знание" это всего лишь отражение фрагмента вселенной в виде электромагнитных и химических реакций в нашем мозге. И трудности испытываемые нами в процессе построения этого отражения (получения знания) лишь подтверждают это. Маловероятно чтобы наш крошечный по масштабам вселенной мозг мог вместить в себя хоть сколько нибудь значительную часть законов мироздания ;) Правда я считаю что попытки это изменить единственное достойное человека занятие ;)
спустя 26 минут [обр] Джафаров Эльдар(0/6)[досье]
я физик, и занимаюсь компьютерным моделированием физ. процессов. Поэтому (1,2) - очень знакомо.
Мои соображения такие:
Мир в принципе намного сложнее, чем его способен описать человек. Физика тоже основывается на постулатах/аксиомах, которые берутся... из воздуха/экспериментов/уверенности, что так должно быть. На самом деле человек способен нафантазировать модель, которая в некоторых условиях будет вести себя с допустимыми отклонениями от природы.
Таким образом, полезность этой модели/информации/алгоритма определяется отклонением результата его действия от необходимого.
Математика сама по себе - абсолютно бессмысленная и бесполезная наука, однако она является костяком любых теорий (тут я причисляю логику к математике тоже), именно в математическом виде(логические цепочки, выводы, формулы), мы способны передавать и сохранять алгоритмы, которые, в свою очередь, в соответствующих условиях способны предсказывать(моделировать/объяснять) поведение природы.
Что касается (3,4) – тут немного сложнее (в науках тоже есть подобные проблемы), поскольку, кроме информации как таковой, есть еще воспринявшаяся информация, и это не обязательно будет одно и тоже. Так, за “я тебя люблю” может быть очень разная информация, и человек слышит это, и после, интерпретирует в информацию, согласно неким своим соображениям.
Если взять любой осмысленный текст, то для себя я определяю его полезность(читай количество полезной информации) опытом, т.е. что я фактически сделал согласно информации из этого текста.
спустя 6 часов [обр] Илья Cтpeльцын aka SelenIT(4/171)[досье]

Даниэль Алиевский[досье]
IMHO:

  1. Разумеется, с ответом о плотности гуся Вы получаете информацию. Как минимум, Вы узнаете, что отвечающий вычисляет плотность по той же формуле, что и Вы — т.е. получаете подтверждение единства понятийного аппарата в области элементарной физики у Вас и отвечающего (убеждаетесь, что отвечающий "поддерживает" Ваш "коммуникационный протокол"). Кстати, это важный вопрос для фантастов, разрабатывающих тему Контакта, да и для разработчиков искусственного интеллекта такая проверка будет не лишней.

Если же ответ о плотности гуся в корне не соответствует Вашему расчетному результату — это тоже информация, могущая быть основанием а) усомниться в компетентности/адекватности отвечающего; б) уточнить собственные представления о том, что такое "плотность".

  1. Аналогично: получая "бесполезные", но формализованные ответы, мы выстраиваем понятийный аппарат/коммуникационный протокол. Профессиональная аналогия: строка <html></html> не несет никакой информации в "интуитивном" смысле, но, получая такой ответ от веб-сервера, мы получаем информацию — сервер работает.
  1. Предлагаю следующий подход. Любой сложный вопрос можно привести к конечной цепочке простых вопросов, на которые возможен строгий ответ "да" или "нет" (а-ля бинарный поиск, на этом основана логическая игра "данетки"/"угадать ситуацию"). Приступая к чтению текста, человек имеет конечное количество таких вопросов (в рамках определенной предметной области, т.е. в данном контексте), по окончании чтения — другое, также конечное, их число. Разность конечного и начального чисел вопросов и будет количеством полезной информации (в битах), полученным человеком от чтения текста (эта величина может быть нулевой и даже отрицательной — "вопросов больше, чем ответов").
  1. На Вашем примере мой подход работает.) Контекст — личные отношения между A и B. Вопрос, имеющийся у B в данной области — "любит или не любит?" — эквивалентен одному простому вопросу "A меня любит (Y/N)?". После фразы A "я люблю тебя, B", у B остается 0 вопросов в рассматриваемом контексте, после фразы "AKSDUILAI34J" — 1 вопрос (исходный). Следовательно, "информационная полезность" признания в любви по сравнению со случайным набором символов составляет +1 бит. )
спустя 16 часов [обр] Тарасов Евгений++++(3/3)[досье]
информация, это алгоритм.
и все.
спустя 7 часов [обр] Сергей Сирик(53/737)[досье]
Илья Cтpeльцын aka SelenIT[досье]
В предложенном в п.3 подходе почти все хорошо ... кроме т.н. "разрешения" вопросов. Как вы будете узнавать цвет глаз любимой девушки, по RGB или CMYK схеме, 16и или 32х битными цветами :?)
Интересно, прокатит ли за комплимент фраза типа "В твоих глазах я нашел ответы на 16 миллионов вопросов" :?) И какой объем информации в этой фразе содержится :?)
спустя 1 час 31 минуту [обр] Илья Cтpeльцын aka SelenIT(4/171)[досье]

Сергей Сирик[досье]
Приведенный подход оперирует вопросами, на которые возможен однозначный ответ "Да/Нет", т.е. вопросами "разрешением" 1 бит (назовем их простыми вопросами). Пример простого вопроса: "Верно ли, что глаза моей любимой девушки зеленые?".

Вообще с глазами девушки как раз трудностей нет. Тип данных "цвет глаз человека" имеет в интуитивном понятийном аппарате (и, соответственно, в его формализованном описании — естественном языке) очень ограниченный диапазон значений, что-то вроде ENUM("голубые", "зеленые", "серые", "карие", "черные"). Даже если расширить шкалу, включив "промежуточные" (типа "бирюзовые" или "болотные") и "двухцветные" (напр. "серые с внутренним карим ободком") варианты, их общее количество едва ли превысит 64. Цепочка простых вопросов, реализующая простейший бинарный поиск по этому множеству, не будет длинее 6 (7 — с гарантией) шагов, поэтому "загадочность" глаз любой девушки в цветовом контексте не превышает 7 бит).

Далее, я ввожу постулат, что любое рациональное знание представимо в виде конечного бинарного дерева простых вопросов. Над его доказательством я еще подумаю, однако пример вышеупомянутой игры, в которой относительно короткая цепочка таких вопросов всегда позволяет точно определить самые нестандартные ситуации, дает основание для такого индуктивного вывода.

На мой взгляд, самое слабое звено моего подхода — не "разрешение вопросов", а определение "контекста" (т.е. границ предметной области, приращение знания в которой нас интересует). В качестве рабочего определения предлагаю следующее: контекст есть конечное подмножество множества интуитивных понятий, для каждого элемента которого вопрос "Это понятие относится к данной теме?" имеет ответ "да". Таким образом, размер контекста равен количеству информации, содержащемуся в определении темы, плюс количество понятий, попадающих в данное подмножество.

Самая интересная вещь происходит в процессе получения знания. При том же определении темы множество "попадающих в тему" понятий начинает меняться — возникает куча новых, возможно, прежде неизвестных, понятий, и в то же время многие понятия на поверку оказываются в данной теме "ни при делах" — это сплошь и рядом видно на примере многих вопросов с phpclub-а, изначально задаваемых в контексте PHP. Нередко выясняется, что исходная формулировка темы не имела смысла, тем самым количество оставшихся в ее контексте вопросов "обнуляется" и начинается новая интерация процесса познания (с определением новой темы и формированием для нее нового контекста).

Но бывает так, что в процессе получения знания контекст темы только расширяется, и для новых (в контексте) понятий возникают новые вопросы. Вот здесь, по-моему, и зарыта ловушка. Если до прочтения текста у меня было 150 простых вопросов в контексте размером 500 бит, а после стало 300 простых вопросов в контексте той же темы, выросшем до 4 Кбит — значит ли это, что текст принес мне "информационный вред" в размере 150 бит? Может, есть смысл оценивать не абсолютное приращение "степени неведения" (как в моем прошлом посте), а приращение отношения "степень неведения/размер контекста"? Или это — просто разные характеристики данного акта познания?

P.S. Невольно всплыло в памяти это обсуждение: Забавный логический парадокс, но с глубоким философским смыслом.

спустя 2 часа 54 минуты [обр] Джафаров Эльдар(0/6)[досье]
Илья Cтpeльцын aka SelenIT[досье]
согласно такой модели вопрос "что это такое?" разложить нельзя. Т.е. предполагается, что "собеседники" работают в едином информационном поле, где однозначно определены все варианты вопросов.
Однако, в случае, например с учебником, для читателя прежде всего необходимо определить понятия, является ли определение понятия информацией? И если это считать в битах, то сколько бит?
спустя 50 минут [обр] Сергей Сирик(53/737)[досье]

Илья Cтpeльцын aka SelenIT[досье]
Такие вопросы называются именно "закрытыми", на которые можно дать ответ да/нет. Это просто в контексте получения информации :)
Ну и я ни за что не соглашусь считать естественный язык формализованным описанием. Потому что он таковым не является аж никак.

Помнится, мы на практическом занятии по психологии проводили эксперимент типа "испорченный телефон" + "данетки". Т.е. пытались передать информацию от одного человека к другому путем исключительно закрытых вопросов. Весь процесс записывался на видеокамеру с целью дальнейшего анализа. Результаты были плачевны - информация "ушла" практически полностью где-то на 3-4 человеке.

Объем получаемой информации кстати никоим образом не связан с длиной пути. В общем случае. Если брать все те же многострадальные глаза девушки, при любом раскладе я могу получить только один бит информации - "да" на конкретно названный цвет.

спустя 8 часов [обр] Тарасов Евгений++++(3/3)[досье]

всем
Вы вот зря проигнорировали мое определение информации в этом топике.
Ваша ошибка в том, что вы поставили неосуществимую задачу, поскольку вопросы и ответы можно трактовать по разному.
А алгоритм, это конкретная вешь, работающая в частном случае. Мое определение свободно от казусов, описанных выше.
Даниил Алиевский
Вы правильно упомянули термин "полезной", алгоритм ведь всегда создается с какой то целью.
Если информация не структурирована, то это и не информация вовсе.
В вопросе с гусем.
 В ы информацию новую получили, потому что вам дали новый алгоритм решения задачи.

вопрос об учебнике.
Есть понятие энтропии-как мере хаоса, мере деструктуризации. Это понятие, обратное информации.
В учебнике содержится ровно столько информации, сколько можно ее осознать (обработать), воспользовавшись заложенным в него алгоритмом.

Рад, что в конце своей темы вы все таки нащапали правильный путь.
цитата: "Может быть, для изучения вопроса стоит перейти к модели, где в качестве источника и получателя информации выступают компьютеры (вернее, алгоритмы)? Все-таки, в отличие от неподдающейся экспериментальному изучению человеческой души, алгоритмы вполне конечны."

спустя 4 минуты [обр] Тарасов Евгений++++(3/3)[досье]
цитата: "Все-таки, в отличие от неподдающейся экспериментальному изучению человеческой души"
Это кому как. А эксперименты над эмоциями вы считаете провести невозможно? Эмоции ведь часть человеческой души?
Положим, у вас эксперимент мой не удался (причин много), а вот я реально ощутил и действие обратной связи и все такое.
Поэтому я и говорю "кому как"...
спустя 14 минут [обр] Тарасов Евгений++++(3/3)[досье]

Илья Cтpeльцын

подход 3

 именно так я и подхожу к этому вопросу.
чтогбы не путаться, нужно сразу упростить все вопросы до максимума разложив их, и оперировать элементарными понятиями логирческих элементов.
 
цитата: "Далее, я ввожу постулат, что любое рациональное знание представимо в виде конечного бинарного дерева простых вопросов"
Ну наконец то!
Последовательность этих вопросов и есть алгоритм.
в любом корректоном вопросе содержится ответ в виде алгоритма (надо только воспользоваться алгоритмом и выполнить действия).
Поэтому в данном вашем контексте ответ и вопрос одно и то же.
Другими словами, вы думаете так же как и я.

спустя 24 минуты [обр] Тарасов Евгений++++(3/3)[досье]
Сергей Сирик
цитата "Объем получаемой информации кстати никоим образом не связан с длиной пути"
неверно.
Объем информаци напрямую зависит от длинны алгоритма (сложенного из простейших логических элементов), а выполнение последнего всегда происходит во времени.
Если мы возьмем сложный логический автомат, да, скажем часовой делитель с 32768 гц до 1 гц, то на выходе (а у делителя 1 выход) может быть только 1 бит.
Однако объем информации, который выдается этим битом во времени уж никак не меньше 32768 бит.
Это вам к тому, что сам бит как таковой, это не мера информации, (здесь, это состояние последнего в делителе RS-триггера в цепочке).
А сама информация (сколько времени прошло. Вот что является здесь информацией!!!!!!!), которую мы и ценим ловя этот бит с делителя в 1 гц, содержится в АЛГОРИТМЕ делителя. Количеством бит меряется не статическое состояние элементов, а количество простейших логических операций в алгоритме.
Они по числу совпадают, потому что простейший логический элемент имеет всего 1 выход (т.е. 1 бит может отобразить).
Бит повторяю, это не ИНФОРМАЦИЯ, а ее отображение!!!
спустя 16 минут [обр] Тарасов Евгений++++(3/3)[досье]
а если взять делитель не на 32768 а на 65536, а входную частоту не 32762 ГЦ, а 65536 ГЦ, то информации с делителя (о той же секунде), которая также будет отображаться одним битом, будет уже в 2 раза больше!
спустя 1 минуту [обр] Тарасов Евгений++++(3/3)[досье]
похоже г-н Палант и другие несколько погорячились, заявляя, что я не знаю что такое информация и алгоритм.
Хе-хе.
не хотите ли забрать свои слова обратно! пока сами не стали посмешищем?
спустя 36 минут [обр] Тарасов Евгений++++(3/3)[досье]

входная информация (фиксирующая некий конкретный промежуток времени (переходные процессы мы для простоты просто не учитываем)),поступающая на вход делителя частоты.
вот ее алгоритм:
инверсия, инверсия, инверсия, инверсия, инверсия, инверсия, инверсия, инверсия, и т.д.
Причем, этот алгоритм упрощенный, поскольку в данном случае может быть как для меандра так и нет. Т.е. приведенный алгоритм просто не содержит информации о скважности генератора, но при желании и ее можно сюда включить, но алгоритм тогда сильно усложнится.

преобразование этой информации посредствам делителя (состоит из элементов 2И,НЕ) происходит по мере выполнения алгоритма инверсии и через 32762 циклов превращается в информацию, отображенную во времени одним битом и несущую в себе ЗНАНИЕ, о том, сколько таких периодов прошло с момента появления на входе первого импульса, а также, несет в себе информацию о скважности (если принять, что переходные процессы по времени одинаковые, то после делителя всегда получается меандр, независимо, какая скважность была на входе. "Это специально для увеличения кругозора г-на Паланта" закрывшего мою тему на основани личной неприязни, при этом оскорбив,видимо потому, что сам лично не усмотрел в моей теме рационального зерна по поводу термина "алгоритм" и ее связи с информацией, о которой в данном топике уже несколько человек высказало аналогичные мнения).

спустя 42 секунды [обр] Илья Cтpeльцын aka SelenIT(4/171)[досье]

Джафаров Эльдар[досье]

вопрос "что это такое?" разложить нельзя

Только в общем случае, когда множество доступных понятий бесконечно. В любом конкретном частном случае (ограниченном контексте) — можно (путем задания конечного множества понятий, доступных в данном контексте, с последующим бинарным поиском по нему).

Сергей Сирик[досье]
Спасибо за уточнение терминологии. Буду пользоваться общепринятым термином "закрытый вопрос".

Ну и я ни за что не соглашусь считать естественный язык формализованным описанием. Потому что он таковым не является аж никак.

Ну почему же не является? Есть множество знаков (слов), отражающее множество понятий, есть система правил записи отношений между понятиями (грамматика, синтаксис), устраняющая (в идеале, на практике — сводящая к минимуму) неоднозначность трактовки. Подавляющее большинство людей получит из простого текста именно ту информацию, которую в него заложили, поскольку "алгоритм шифрации/дешифрации" естественного языка является общепринятым соглашением. Неоднозначность интерпретации образов художественного слова (метафоры и т.п.) можно рассматривать как результат мастерского использования авторами неполноты естественного языка, своего рода "дыр" в его "реализации" (аналогия с хакером, вызывающим посредством особого сигнала "переполнение буфера" на принимающей стороне). Для текстов учебников, технических статей и т.п. (о которых в основном идет речь в этом топике) этими вещами можно пренебречь.

Если брать все те же многострадальные глаза девушки, при любом раскладе я могу получить только один бит информации - "да" на конкретно названный цвет.

Не согласен. Предположим, первым вопросом определяем, что глаза многострадальной девушки одноцветные. Затем узнаем, светлые они или темные (с предварительным соглашением, что к темным относятся карие и черные, к светлым — все остальные). Если выясняется, что глаза светлые — спрашиваем, голубые ли они. Если не голубые — последним вопросом устраняем неопределенность между серыми и зелеными. Цель достигнута гораздо быстрее, чем при последовательном "отсечении" всех возможных значений (бинарный поиск быстрее перебора).

Помнится, мы на практическом занятии по психологии проводили эксперимент типа "испорченный телефон" + "данетки".

За ограниченное время занятия такой эксперимент не мог быть доведен до конца, только этим и объясняется его неудача. Обычные "данетки" можно разгадывать часами, а то и неделями — но при отсутствии ограничения по времени результат достигается почти всегда. Лишь формулировка закрытых вопросов в количестве, необходимом для однозначного описания реальной ситуации (а тем более их запись) заняла бы не меньше времени, чем написание Windows-программы прямо в машинных кодах. Но это не значит, что первое или второе невозможно в принципе.

Тарасов Евгений[досье]
Информация === алгоритм? Но ведь любой алгоритм — это последовательность действий, нацеленная на результат. Получается, что информация непременно нацелена на результат?

спустя 12 минут [обр] Тарасов Евгений++++(3/3)[досье]
Илья Cтpeльцын
алгоритм, это описание последовательности действий, нацеленной на результат, а не последовательность действий.
Да, информация непременно нацелена на результат. А что в этом такого непонятного или неординарного?
Что вас смущает то?
спустя 21 минуту [обр] Тарасов Евгений++++(3/3)[досье]
Т.е. информация ХРАНИТСЯ в алгоритме.
Алгоритм можно записывать или не записывать, он либо у нас есть и мы его записываем, либо мы его еще не знаем и записать не можем.
Следующий вывод Илья, что информация- это потенциальная энергия.
Ну сколько времени вам всем еще нужно, чтобы понять очевидное?
спустя 2 часа 58 минут [обр] Тарасов Евгений++++(3/3)[досье]

как в случае с алгоритмом генератора (инверсия инверсия и еще раз инверсия), одно и то же логическое действие может выполняться здесь (и выполняется на практике) в алгоритме N раз одним и тем же логическим элементом.
Отсюда следует, что длина алгоритма (количество информации) никак не связана с количеством логических элементов реально принимающих участие в исполнении алгоритма.
Это, в свою очередь, означает, что ни физическое количество логических элементов ни сам бит в статике, никак не связаны с количеством информации. Бит с делителя, начинает приносить информацию, вернее, отображать ее в рамках некоторого промежутка времени, определяемого алгоритмом делителя и выходными параметрами генератора.
Т.е. говорить о наличии информации для стороннего наблюдателя (точнее, о ее видимом проявлении посредством появления значений битов) можно только посмотрев динамику выполнения алгоритма, зная при этом входные параметры (для обработки которых и был построен и работает этот алгоритм).
для дальнейшего рассуждения на тему "что такое информация" не плохо было бы дать определению "бит".

А бит, это не более чем (логическое состояние, одно из 2-х возможных в двоичной логике).
Возьмите другую логику (не двоичную), устойчивых состояний в логическом элементе может быть любым. Вон, 8-ми разрядный ЦАП, например, может разложить аналоговый сигнал на 128 устойчивых состояний. Возьмите за основу 128-ричную логику, но суть не изменится.
Алгоритм того же простейшего генератора из таких вот 128-ми разрядных логических элементов, будет тем же:

инверсия, инверсия, и еще раз инверсия.
Количество информации (кол-во логических действий от этого не поменяется), и логика, какой бы она не была, все равно логикой и останется.
Возможно, есть такая логика, где нет такого набора логических функций (инверсия, и, или, исключающие или), может быть, есть другой какой то набор и функция нашего простейшего генератора описывается этой логикой иначе. Однако суть ИНФОРМАЦИИ от этого не меняется. И в том и в другом случае, разными логическими элементами будет реализована функция одного и того же делителя, а количество информаци при тех же условиях задачи
окажется такой же.

спустя 37 минут [обр] Тарасов Евгений++++(3/3)[досье]
Даниил Алиевский
похоже, умных людей данный вопрос вообще не интересует, только дураков, таких как мы с вами...
извините, что забил своими постами ВАШУ тему, я бы с радостью ограничился в ней первым постом, и высказал бы все это в своей теме, но, г-н Палант мою тему закрыл, равно как и возможность создавать иные темы в других разделах, при етом, еще позволил себе и оскорбить, за что ему сердечное спасибо.
Информации к размышлению для умных людей, думаю, тут более чем достаточно, а я на удавком пошел.
г-н Палант.
вместо того, чтобы рисовать очередной плюсик в моем досье, подумайте хорошенько и вставьте этот плюсик себе... в наиболее подходящее для этого место.
спустя 6 минут [обр] Владимир Палант(149/4445)[досье]
! Тарасов Евгений[досье]
Выставляю вам третий плюс, которого вы так добиваетесь — за неуважение к модератору. Отныне вы не сможете писать в этом форуме, что явно лучше для всех.
спустя 21 час [обр] Даниэль Алиевский(6/125)[досье]

Попробую частично ответить, тем более что мнения разделились. В приведенных соображениях я вижу некоторые изъяны.

Дмитрий Донцов[досье] (Назовем вашу точку зрения "информационным материализмом" :) Материя первична, а пустые умствования информации породить не могут.)

Ваше утверждение, что всякая информация есть изначально, вообще-то не противоречит тому, что некоторая информация может быть "порождена" исключительно путем размышлений. Человек и его мозг - тоже ведь часть внешнего мира. Хуже того, мы толком не знаем, какая именно (к примеру, бессмертна ли душа и где она хранит свою информацию о предыдущих инкарнациях).

Да, можно сказать, что мы получаем информацию только общаясь с внешним миром, который находится за пределами нашего физического тела (я так вас понял). Когда же мы "просто размышляем", мы не прибавляем себе никаких знаний. Концепция непротиворечивая, но мне она не нравится своей тривиальностью. Так мы не сможем применять понятие "информация" ко всем тем знаниям, которые напрямую не связаны с экспериментом. А ведь такие знания есть! Более того, с точки зрения понимания природы нашей личности и нашего разума, там все самое интересное и зарыто :) Парадоксы математики, теоремы Геделя, огромное множество воображаемых миров и ситуаций, от придуманных писателями до управляемых сновидений, музыкальные сочинения. Мне хотелось бы изучать информацию такого рода. Тогда придется признать, что деление M на V все же имеет отношение к получению знаний.

GRAy[досье] (Ваша точка зрения будет "информационным идеализмом" :))

Как же не узнали - вы узнали значение плотности, некую её меру, с помощью которой можете сравнивать плотность этого конкретного гуся и некого другого. Каким путём была получена эта мера, по большому счёту, не имеет значения, т.к. любое знание так или иначе происходит от другого знания.

А мне кажется, что имеет некоторое значение. Есть вещи, которые мне никак не узнать, не наблюдая за внешним миром - например, цвет Ваших глаз. А есть и открытия, которые можно совершить "на кончике пера". Иногда - о внешнем мире (вроде существования Нептуна), иногда - о воображаемом (верна ли теорема Ферма). Если говорить о математике, то принято считать, что здесь все открытия не имеют отношения к внешнему миру, раз они следуют из аксиом. Но и эта уверенность начинает таять, когда углубляешься в основания математики. Почему мы выбираем именно такие аксиомы, а не другие? Откуда взялись правила вывода? Почему почти все изучаемые логические системы (от банального исчисления предикатов первого порядка до интуиционизма), в общем, сходны и приводят к близким выводам?

Вот еще такой провокационный вопрос, на тему "идеалистической" информации, по Канту, "чистого разума". Мы не знаем, верна ли аксиома выбора, более того, не видим особого смысла в этом вопросе - мы вольны и принять ее, и отвергнуть, ибо к внешнему миру она отношения не имеет. Если ее принять, то один шар можно разрезать на конечное число частей так, что из них удастся собрать два всюду плотных шара такого же размера, пусть и неизмеримых по Лебегу (насколько я помню) - в практической жизни нас это не касается, ибо таких объектов в природе не бывает. Но разве другие аксиомы не столь же произвольны? Разве не все аксиомы арифметики Пеано и более сложных структур выбраны "просто так"? Почему мы применяем арифметику во внешнем мире и уверены, что все "правильно"? А вдруг арифметика противоречива - мы же не можем доказать обратного (теорема Геделя)? Где кончается "допустимая неопределенность" и начинается стопроцентная уверенность, что, допустим, 2*2=4? На самом ли деле мы можем быть уверены, к примеру, что, умножая столбиком (читай - современными процессорами), мы всегда будем получать правильные результаты? Ведь в основе даже финитных вычислений лежит некоторая аксиоматика и правила вывода, которые взяты "с потолка"!

Илья Cтpeльцын aka SelenIT[досье] (У вас, по-моему, промежуточная точка зрения, но скорее все же "материализм" :)

  1. Разумеется, с ответом о плотности гуся Вы получаете информацию. Как минимум, Вы узнаете, что отвечающий вычисляет плотность по той же формуле, что и Вы — т.е. получаете подтверждение единства понятийного аппарата в области элементарной физики у Вас и отвечающего (убеждаетесь, что отвечающий "поддерживает" Ваш "коммуникационный протокол"). Кстати, это важный вопрос для фантастов, разрабатывающих тему Контакта, да и для разработчиков искусственного интеллекта такая проверка будет не лишней.

Таким образом вы просто ушли от ответа. Предположим, я уже знаю, что отвечающий пользуется такими же формулами, что он "психически адекватен" и вообще все в порядке. И вот, зная все это, узнаю ту самую таинственную величину M/V. Узнал ли я что-либо новое? Не об отвечающем, не о коммуникационном канале, не о свойствах деления или понятии плотности - а именно о гусе?

Можно ли считать, что Нептун открыли уже тогда, когда собрали все информацию о движении других планет, из которой можно было сделать вывод о существовании Нептуна? А если бы Леверье не открыл Нептуна, и вообще с этого момента запретили бы дальнейшие астрономические изыскания? Неужели своими вычислениями он ничего не сообщил человечеству, кроме того, что он умеет считать?

  1. Аналогично: получая "бесполезные", но формализованные ответы, мы выстраиваем понятийный аппарат/коммуникационный протокол. Профессиональная аналогия: строка <html></html> не несет никакой информации в "интуитивном" смысле, но, получая такой ответ от веб-сервера, мы получаем информацию — сервер работает.

Продолжение вопроса очевидно - занимаясь теорией чисел, доказывая теоремы, проводя вычислительные эксперименты - узнаю ли я хоть что-нибудь о числах? Хотелось бы думать, что да. Более того, хотелось бы применить эти знания в обычной жизни, например, написав алгоритм для управления ракетой. А по-вашему получится, что я всего лишь учусь правильно писать формулы (хотя вроде бы уже давно умею).

  1. Предлагаю следующий подход. Любой сложный вопрос можно привести к конечной цепочке простых вопросов, на которые возможен строгий ответ "да" или "нет" (а-ля бинарный поиск, на этом основана логическая игра "данетки"/"угадать ситуацию"). Приступая к чтению текста, человек имеет конечное количество таких вопросов (в рамках определенной предметной области, т.е. в данном контексте), по окончании чтения — другое, также конечное, их число. Разность конечного и начального чисел вопросов и будет количеством полезной информации (в битах), полученным человеком от чтения текста (эта величина может быть нулевой и даже отрицательной — "вопросов больше, чем ответов").

Все бы хорошо, но ведь в том и проблема, что вопросов почти всегда становится больше! Как измерять? Как число вопросов, получивших ответы? И самое неприятное - где взять начальные вопросы? Довольно редко, приступая к чтению текста, я имею вопросы - я же пока не знаю, о чем этот текст. Кроме, разве что, случая обращения к справочнику.

  1. На Вашем примере мой подход работает.) Контекст — личные отношения между A и B. Вопрос, имеющийся у B в данной области — "любит или не любит?" — эквивалентен одному простому вопросу "A меня любит (Y/N)?". После фразы A "я люблю тебя, B", у B остается 0 вопросов в рассматриваемом контексте, после фразы "AKSDUILAI34J" — 1 вопрос (исходный). Следовательно, "информационная полезность" признания в любви по сравнению со случайным набором символов составляет +1 бит. )

Все бы хорошо, пока ко мне не подойдет незнакомый человек и неожиданно не заявит: "я тебя люблю". У меня не было вопросов к нему! Зато после такого заявления точно появятся :)

спустя 18 минут [обр] Даниэль Алиевский(6/125)[досье]

Пришел в голову совсем очевидный и злободневный пример. Предположим, через некоторое время математики найдут строгое доказательство, что классы алгоритмов P и NP различны, и кто-нибудь придумает алгоритм шифрования с гарантированно NP-трудной криптостойкостью. Иначе говоря, будет алгоритм, про который можно гарантировать: подбор ключа требует экспоненциального числа операций. И мне расскажут этот алгоритм, вместе с упомянутым доказательством.

Вопрос A. Получу ли я информацию? По-моему, да, причем практическое значение это информации будет очень значительным (скажем, с точки зрения военных ведомств).

Вопрос Б. Как вы считаете, может ли после этого случиться так, что некий умный программист все же напишет полиномиальный алгоритм подбора ключа? Не потому, что в системе шифрования или в доказательстве есть ошибки, а потому, что положенная в основу любой алгоритмики, знакомая нам всем арифметика и ее аксиоматика неверны?

спустя 7 часов [обр] VIG(24/839)[досье]

Даниэль Алиевский[досье]

Вы путаетесь в банальной семантике. Словом "информация" из "теории информации" обозначают, грубо говоря, логарифм числа возможных равновероятных исходов ... и никакой особой "философии" отсюда не развить ...

Есть еще определение из Брокгауза и Ефрона: "Информация — прошение малороссийских гетманов московскому царю или польскому королю." :-)

Вы же [неявно] оперируете с понятием "знания", которое: а) [пока] не имеет строгого определения; б) субъективно.

Отсюда и все недоразумения. Попробуйте перечитать свои посты, мысленно везде заменяя слово "информация" на слово "знания" — и никаких "парадоксов" не останется ...

спустя 39 минут [обр] Даниэль Алиевский(6/125)[досье]

VIG[досье] Ну почему же путаюсь... Я и стараюсь по возможности заменять слово "информация" на синонимы вроде "сведения", "знания". Специально, чтобы подчеркнуть: формального понятия из теории информации для ответов на мои вопросы недостаточно.

При этом мне все же кажется, что информация как логарифм числа состояний (или, если состояния не равновероятны, то сумма -p[i] log p[i]) имеет отношение к поставленным вопросам. В сущности, пока это единственная строгая модель обсуждаемого понятия.

Насчет "понятие субъективно" - это что, такое оправдание, чтобы не рассматривать предмет? И что, собственно, вы имеете в виду? Мои вопросы, похоже, касаются основ человеческой личности, разума, логики - в этом смысле они "субъективны". Но при этом можно не только изучать их, но и делать нетривиальные выводы. Вторая теорема Геделя (о недоказуемости непротиворечивости арифметики) - блестящий тому пример. В терминах информации (в смысле "знаний"), эта теорема утверждает, что мы никогда не сможем убедиться в том, что практически вся известная нам математика не то чтобы "верна", но попросту не сводится к тривиальности. (Ибо противоречивая теория плоха именно тем, что из конъюнкции "a и не-a" по традиционным правилам вывода почти сразу выводится вообще любое утверждение.)

В словах Евгения "информация есть алгоритм", наверно, что-то есть. К сожалению, его метод ведения беседы оказался слишком неприятен для уважаемых участников.

спустя 28 минут [обр] VIG(24/839)[досье]

Даниэль Алиевский[досье]

В том-то и дело, что "информация", в теоретико-информационном смысле этого слова, к "поставленным" вопросам никакого отношения не имеет ...

Понятие "субъективно" означает лишь то, что нельзя определить данное понятие объективно, само по себе, в отрыве от "субъекта".

Знания — субъективны. Например, если Вам сообщить (доказать), что P = NP, то для Вас любая разумная мера данного знания будет огромна. Для меня же полученное знание равно 0, поскольку я это и так знаю ;-)

спустя 10 минут [обр] Даниэль Алиевский(6/125)[досье]

VIG[досье] Ладно вам иронизировать, я понимаю, что в математическом смысле вопросы отнюдь не "поставлены". Но интересны - мне, по крайней мере.

Почему это теоретико-информационная информация не имеет отношения к знаниям? Хотя бы о том же гусе? Аргументируйте, пожалуйста.

Понятие "субъективно" означает лишь то, что нельзя определить данное понятие объективно, само по себе, в отрыве от "субъекта".

Тоже не очевидно. Я даже предлагал возможный подход - рассмотреть "обучение" компьютеров.

Например, если Вам сообщить (доказать), что P = NP, то для Вас любая разумная мера данного знания будет огромна. Для меня же полученное знание равно 0, поскольку я это и так знаю ;-)

Не аргумент :) Если вы уже владеете информацией, это не значит, что она равна 0.

спустя 1 час 9 минут [обр] VIG(24/839)[досье]

Даниэль Алиевский[досье]

Я не иронизирую, вполне серьезно.

Почему это теоретико-информационная информация не имеет отношения к знаниям? Хотя бы о том же гусе? Аргументируйте, пожалуйста.

Потому что расплывчатое неформальное понятие "знания" относится к строго определенному формальному понятию "информация" примерно так же, как реальная лошадь к сферическому коню в вакууме.

Тоже не очевидно. Я даже предлагал возможный подход - рассмотреть "обучение" компьютеров.
Если вы уже владеете информацией, это не значит, что она равна 0.

Если данный субъект не знает о некотором факте, он получает знания. Если же он это уже знает, то полученные знания равны 0.

Более того, я, например, не знал до настоящего момента, что 43178 умножить на 611 равно 26381758 (только что подсчитал на калькуляторе). Какие знания я получил в результате этого? А никакие.

Кстати, в предыдущем посте я передал Вам очень ценное знание того, что P = NP. А какие знания получили Вы? А никакие.

Так что объективного понятия "знания", в отличие от теоретико-информационной "информации", просто не существует.

спустя 4 минуты [обр] Дмитрий Донцов+++(9/68)[досье]

VIG[досье]

Более того, я, например, не знал до настоящего момента, что 43178 умножить на 611 равно 26381758 (только что подсчитал на калькуляторе). Какие знания я получил в результате этого? А никакие.

Кстати, кстати - парадигма советской школы образования (очень удачной надо сказать):
Нельзя знать всего, но необходимо знать где узнать, то что нужно... В калькуляторе, библиотеке, у коллеги, на икспойнте... :)

может и отсюда мой - "информационный материализм"

спустя 19 часов [обр] Даниэль Алиевский(6/125)[досье]

VIG[досье] Так это вы, оказывается, серьезно - насчет P = NP :) Извиняюсь, я думал, шутка. Не слежу за новостями. Сейчас полез в yandex и вижу много шума вокруг доказательства Тельпиза. Так что спасибо за информацию. Может быть, еще и прокомментируете - действительно ли это общепризнанный, перепроверенный научный факт, или нечто сомнительное? Некоторые сайты (вроде http://satisfiability.narod.ru/) сомневаются. Если же это факт, то не опирается ли он на какие-нибудь "сомнительные" аксиомы вроде несчетной аксиомы выбора? Или все конструктивно и "по-честному"?

По теме.

Если данный субъект не знает о некотором факте, он получает знания. Если же он это уже знает, то полученные знания равны 0.

Полностью согласен. С этим я вроде не спорил.

Более того, я, например, не знал до настоящего момента, что 43178 умножить на 611 равно 26381758 (только что подсчитал на калькуляторе). Какие знания я получил в результате этого? А никакие.

А вот это и есть мой вопрос номер 2. Как, все-таки, быть с математикой? Ведь по тем же самым соображениям математики не получили ни бита информации (никаких знаний, если хотите), после того как сформулировали основные аксиомы. При этом очевидно, что без таких "несуществующих" знаний (которые никто и никогда ниоткуда не получал, кроме как из размышлений, по сути своей малоотличимых от вашего упражнения с умножением 2 чисел) были бы невозможны современная физика, алгоритмика и техника.

Вопрос не совсем праздный, как мне кажется. Все мы учим детей; совсем без обучения ребенок по своим возможностям и образу жизни не будет отличаться от обезьяны. Мы "учим" компьютеры делать некоторые примитивные вещи. Может быть, когда-нибудь нам понадобится обменяться знаниями с другим разумом, который не имеет ничего общего с земной биосферой. Наконец, если принять существование Бога, то логично предположить, что некоторые знания уже "заложены" в нас. Что же это за штука - знания? В частности, как получается, что некоторые знания (вроде 43178*611=26381758) можно получить путем чистого размышления, минуя эксперимент?

Я, между прочим, не спорю, что информация из теории информации - нечто вроде идеального сферического коня. Просто больше-то ничего нет. Даже по пресловутой теории информации выходит, что в двух книгах знаний больше, чем в одной, а в постингах, где на разные лады повторяются один и те же идеи, информации относительно мало.

спустя 58 минут [обр] VIG(24/839)[досье]

Даниэль Алиевский[досье]

Сейчас полез в yandex и вижу много шума вокруг доказательства Тельпиза. Так что спасибо за информацию. Может быть, еще и прокомментируете - действительно ли это общепризнанный, перепроверенный научный факт, или нечто сомнительное?

Впервые от Вас услышал :-)

Не разбирался детально, но, судя по тому, что "новости" уже 2-3 года, — пшик. Просмотрел статью: по языку и способу изложения — типичный ферматик. Прочитал рецензию, весьма, я бы сказал, вежливую, и укрепился в этом мнении.

Я же в предыдущих постах намекал, что недавно сам нашел доказательство того, что P = NP. Какие знания Вы из этого моего сообщения получили, а? Я серьезно ;-)

Ведь по тем же самым соображениям математики не получили ни бита информации (никаких знаний, если хотите), после того как сформулировали основные аксиомы.

"Ни бита информации" и "никаких знаний" — это далеко не одно и то же. Впрочем, и то и другое утверждения неверны.

Для вычисления количества информации, полученной математиками, необходимо, в первую очередь, определить пространство (множество) возможных исходов и функцию распределения вероятности. Причем такие, чтобы не получилось, как в известном анекдоте про блондинку:

-- Какова вероятность встретить на улице динозавра?
-- 50%.
-- ???
-- Или встречу, или не встречу.

Пока такого строгого определения не дано, утверждение "математики не получили ни бита информации" просто не имеет смысла.

Утверждение "математики не получили никаких знаний" также не имеет смысла, но по несколько другой причине. Просто [пока] нет определения понятия "знания", хотя бы философского, не говоря уже о математическом, от которого можно было бы плясать. Выше по треду я попытался проиллюстрировать некоторые сложности на пути создания такого определения ...

А рассуждения без четкого понимания смысла обсуждаемых понятий кажутся мне вполне беспредметными, и результатом их может быть только утонутие в семантическом болоте естественного языка ...

спустя 2 часа 15 минут [обр] Thirteensmay(9/157)[досье]

Ух (боясь нарваться на VIG) ;), но всеже...

Ну вот, материалисты vs идеалисты, как всегда ;)
Да и теорию относительности вроде никто не отменял ;)
Посему как и просил автор, просто пополню копилочку своими ответами,
дальше пусть каждый сам определяет нечто среднее.

Однако оговариваю, ответы больше материалистичны, не потому что неприемлю
идеализма, а просто думаю что так будет полезнее, ибо если ударяться
в идеализм получается либо смутно, либо жестко. Не боги мы.

Итак, для начала всеже постулирую определение и попытаюсь кратко обьяснить:
Информация - есть контекстный продукт обработки данных. Данные - это
первоначальные сведения о предметной области, получаемые от органов чувств,
датчиков, и т.п. Данные сами по себе не имеют конкретного смысла, подобно
числам в математике, однако являются почвой для абстракций, и информация
является такой абстракцией. Процесс абстрагирования, т.е. синтеза информации,
как и любой другой, происходит в неких условиях, т.е. контексте. Контекст
определяет метод обработки (базу знаний, алгоритмов, эвристик и т.п.).
Естественно, что получаемая информация зависит от контекста.

Заметьте, я опускаю идею о информации как о самодостаточной сущности,
т.е. не рассматриваю утверждение типа: "если папа для сына не определен,
это не значит что его нет". Т.е. я не говорю что любая информация есть
как таковая, вне зависимости знаем мы о ней чтото или нет.
Потому что считаю такие утверждения божественными, со всеми вытекающими.
Да, эта практика имеет коллизии, но они спокойно разрешаются, и это реально.
Если написано что папы нет - значит его нет ! все мля. Кому надо - поищут,
только ненадо рожать его из вселенского эфира ;)

Ну и прежде чем таки дать ответы, укажу еще один момент, как мне кажется
напрямую связанный с мэйнстримом понятия информации.
Заметьте, никто не говорит "база информации", употребляют "база данных".
И это логично, потому что прежде чем данные из этой базы дойдут до нас,
они будут обработаны (некоторым образом, в некотором контексте, СУБД,
скриптами, клиентом, или как минимум нами самими), вот результат обработки
будет уже информацией, а не теми первоначальными данными что были в базе.
Однако Вы можете сказать, что употребляют термин "информационная база".
Да, но что при этом подразумевается ? - как правило информационная база
организации или др. системы, в состав которой опять таки входят некие
инструменты обработки в некотором контексте.

Можно даже пойти сверху вниз, т.е. проанализировать что есть информация
не относительно данных, а относительно более высокоуровневой сущности - знаний.
Что есть знания ?, или база знаний (информационная база) ? - это связка
информации с ее контекстом, хранилище таких связок. Знание уточняет информацию,
позволяет правильно ее использовать. Т.е. и здесь мы видим неразрывную связь
информации с контекстом.

Собственно говоря сами ответы:

1 - "Вижу я гуся"... - В этом случае мы однозначно получаем данные, в виде
звуковых колебаний голоса собеседника (если со слухом все в порядке конечно).
Дальше немного сложнее, поступившие данные начинают обрабатываться, какая
информация получится в результате сказать сложно, т.к. все зависит от
Вашего обрабатывающего аппарата, возможно никакой информации и не будет,
если например Вас в момент осознания ответа отвлекли и Вы забыли об этом,
но чаще, в результате мы получаем информацию о плотности гуся. Контекст
в данном случае мы сформировали сами, получив входные данные (число),
интерпретировали их в установленном контексте, проверили на соответствие,
и имеем информацию о плотности, получив эту информацию и имея ее контекст,
мы также сформировали знание о плотности гуся, причем несколько таких знаний,
как минимум знание о самой плотности, знание то что методика измерения
у собеседников одинакова и пр. Если Ваш обрабатывающий аппарат находится
в нестандартном состоянии (например вследствие чрезмерного употребления
пива), то информация также может быть не получена, либо искажена. Если Вы
имеете первый опыт такого общения, то в зависимости от совершенства
(сообразительности) аппарата также может быть сформировано знание о
облегченном способе получения плотности (без расчетов). В любом случае,
Вы можете узнать новое о внешнем мире - плотность гуся перед Вами, потому
что раньше Вы этого не знали, принципиальной разницы между информацией
полученной собственными рассчетами и вопрос-ответом нет.
Информация не содержалась в числах M и V, это данные, однако могла быть
получена Вашим аналитическим аппаратом.

2 - Таким образом не сомневайтесь, извлекая следствия из аксиом мы получаем
информацию. Причем часто каждый по сто раз одну и туже ;)
Вообще это конечно больше философский вопрос, но философию данного поста
я изложил в начале.

3 - Думаю измерять количество информации впринципе возможно, для относительно
простых систем, типа приведенной Ильей Cтpeльцыным это проще, тут за основу
можно брать некий дискрет, типа элементарных (закрытых) вопросов. В общем же
плане это конечно сложнее, возможно это будет некая относительная единица
типа децибела, связанная с контекстом. Если интересно, думаю есть смысл
обсудить этот вопрос отдельно.

4 - Тут все просто, конечно надо вводить понятие "полезности". Точнее
рассматривать информацию в свете контекста, и даже неразрывно с ним. Тогда
это уже будут знания. В этом случае очевидно, что фраза "я тебя люблю"
для меня несет больше информации, потому что в моем контексте это элементарно
обрабатывается. А вот "AKSDUILAI34J" поставит в тупик. Т.е. так как оно и
получается в реальности. А то что "AKSDUILAI34J" теоретически может нести
большее количество данных, так никто и не спорит, но ведь это данные а не
информация.

Кстати, информация используется для получения знаний (знание - это связка
информации с контекстом), если предположить что знания штучны, т.е. всегда
можно четко ответить знаем мы чтото или нет, то объем информации можно
определять как количество знаний, полученных с ее помощью в определенном
контексте. ? Т.е. например, если какая либо система обладает 100 знаниями,
то объем знаний этой системы равен 100. Далее предположим, что при получении
некой информации, на ее основе было сформировано 3 знания - 2 в одном контексте,
и одно - в другом. Соответственно можно говорить, что объем этой информации
равнялся 3 знаниям в двух контекстах. ?

P.S. Народ, ну я понимаю конечно что не идеально, но ведь хоть как то
реально. Имхо нормальный инженер должен понимать что идеалов не бывает.
К чему в них тогда удараться ?, беседовать о высших материях приятно, но
как показывает практика бесполезно. Имхо самая толковая идея в этом топике,
это идея Ильи Cтpeльцына - просто конечно, но осязаемо, не идеально, но можно
потихонечку дотягивать по мере необходимости. Самое главное - можно реализовать
и проверить. А что толку от остальных высоких идей ?, их не пощупаешь.
У меня тут тоже конечно не шибко ясно, но всеже думаю совсем высоко не улетел.

P.P.S. Даниил, проклассифицируйте эту точку зрения ;)

спустя 52 минуты [обр] VIG(24/839)[досье]

Thirteensmay[досье]

А что, более-менее разумно ... с общефилософской точки зрения ... как говорится, абстрагируясь от сложностей технической реализации ... можно принять за основу ;-)

Бяка, однако, начинается дальше, в тех самых деталях, в которых сидит дьявол ...

Кто-то из великих как-то высказал мнение, что для того, чтобы что-либо считать наукой, необходимо уметь измерять ее предмет.

В данном случае, вы рассуждаете о трех вещах: данные, информация и знания. Кроме того, вводятся субъекты (контексты) и их личные "меры полезности" информации и знаний. Все — на пальцах, из общих соображений, как говорится, "по понятиям".

Для "поболтать за жизнь" этого вполне достаточно. Как я уже сказал, концепция выстраивается более-менее разумная, во всяком случае, инстинктивного отторжения лично у меня не произошло. И при разработке прикладных систем некоторое упорядочение в мыслях отнюдь не вредно. Но это пока еще не наука ...

А довести все это безобразие до уровня науки — задачка еще та, с моей точки зрения, намного сложнее той же проблемы P = NP. Я бы даже осмелился сказать, что, имея формальное, научное, измеряемое, эффективное определение понятия "знания" (и всех сопутствующих понятий), не составит особого труда сотворить искусственный интеллект ...

спустя 1 час 52 минуты [обр] Thirteensmay(9/157)[досье]
VIG[досье] Согласен с Вами, все это не более чем начальное определение "по понятиям", собственно говоря тема это и подразумевает, а то некоторые тут предлагают рассматривать информацию как алгоритм, и пр. Кому надо пусть дальше сами развивают, просто хочется хотябы минимального начального взаимопонимания, оно вследствие полезно ;)
спустя 12 часов [обр] Даниэль Алиевский(6/125)[досье]

VIG[досье]

Не разбирался детально, но, судя по тому, что "новости" уже 2-3 года, — пшик. Просмотрел статью: по языку и способу изложения — типичный ферматик. Прочитал рецензию, весьма, я бы сказал, вежливую, и укрепился в этом мнении.

А жаль, было бы интересно. Теорему-то Ферма тоже кто-то русский доказал, если не ошибаюсь? Уж простите за невежество :)

Я же в предыдущих постах намекал, что недавно сам нашел доказательство того, что P = NP. Какие знания Вы из этого моего сообщения получили, а? Я серьезно ;-)

Не поймешь вас, то ли шутите, то ли что :) Впрочем, кто вас знает, как вас на самом деле зовут :) Может, все давно опубликовано и известно. Правда, в yandex все больше поминается Тельпиз, а из вашего поста вроде бы следует, что он - не вы :) Конечно, если это правда, то я узнал нечто для себя очень интересное и хотел бы узнать больше. Ведь каждому программисту приходится иногда "напарываться" на NP-полные задачи; если появился подход, позволяющий решать их все за полиномиальное время, это может позволить решить принципиально новые задачи.

"Ни бита информации" и "никаких знаний" — это далеко не одно и то же. Впрочем, и то и другое утверждения неверны.

Для вычисления количества информации, полученной математиками, необходимо, в первую очередь, определить пространство (множество) возможных исходов и функцию распределения вероятности.

Понятно, что это сложно и не всегда возможно. Скажем, большинство математиков уже в середине XX века были уверены, что теорема Ферма верна, поэтому вероятность ее опровержения, по идее, следовало признать меньше 0.5. Как и вероятность того, что 67283*12357234=XXXXXXX...X, если цифры XXXXXXX...X набрать наугад. Но ведь и в реальном мире, строго говоря, мы не можем быть уверенными, что игральная кость выпадает шестеркой с вероятностью 1/6. Это лишь предположение, к тому же неточное. Тем не менее, мы успешно применяем теорию вероятности на практике. Где проходит граница применимости этой теории? Мы вроде бы имеем право спросить, сколько информации содержится в утверждении "у меня на руках такие-то карты" (разумеется, в контексте, как без него - предполагая, скажем, что мы изначально знаем, в какую карточную игру играем). В чем принципиальное отличие от утверждения "я ношу зеленую шляпу"? Практическое отличие, конечно, колоссально - здесь объемы контекста несравнимо больше. Но все же они конечны и принципиально измеримы! Если, допустим, в качестве реципиента информации принять гипотетического марсианина, то в первом случае, для получения контекста и возможности измерения информации, ему надо будет лишь объяснить карточной игры, а во втором случае - рассказать "все" или "почти все" про нашу планету и человечество.

А в чем, далее, принципиальное отличие от утверждения "существует планета Нептун, и ее можно обнаружить там-то и там-то" (то, что сообщил Леверье Галле)? И, наконец, от теоремы Ферма?

Точно определить пространство возможных исходов необходимо, чтобы измерить полученную математиками информации. Я же спрашиваю - получили ли вообще математики хоть сколько-то информации. Легко догадаться, что если мы начнем строить пространство возможных исходов, положив в основу все ту же математику, получится тавтология - единственный возможный исход и 0 информации. Но это как раз и вызывает неприятие :) Попытка строго определить понятие делает его бессмысленным. Такое иногда случается в основаниях математики, но от этого не легче. Сравните с типичной формулировкой из учебника мат.логики: "если предложение некоей теории доказуемо, то оно истинно" :) При этом само понятие "истинно" осмыслено лишь в рамках метатеории, которая для своего построения обычно нуждается, как минимум, в арифметике.

Утверждение "математики не получили никаких знаний" также не имеет смысла, но по несколько другой причине. Просто [пока] нет определения понятия "знания", хотя бы философского, не говоря уже о математическом, от которого можно было бы плясать. Выше по треду я попытался проиллюстрировать некоторые сложности на пути создания такого определения ...

А рассуждения без четкого понимания смысла обсуждаемых понятий кажутся мне вполне беспредметными, и результатом их может быть только утонутие в семантическом болоте естественного языка ...

Как показывает пример Thirteensmay, не обязательно :) В сущности, все, чем занимаются философы и даже, частенько, метаматематики - суть подобные "беспредметные" разговоры. "Плоха" или "не плоха" неконструктивная математика и принцип исключенного третьего для бесконечностей? Интуиционисты считают, что "плоха", и на этой почве выстроили целую альтернативную математику. Хотя что есть "плоха", никто не знает.

Интересно, а как вы ответили бы на мой вопрос Б? (Теперь у меня уже 6 вопросов :)) Понятно, раз вы доказали P=NP, придется его переформулировать :) Возьмем теорему Ферма, которая, вроде бы, слава богу, доказана.

Вопрос Б. Как вы считаете, может ли случиться так, что однажды некий человек, проверяя (доказанную) теорему Ферма на компьютере, неожиданно обнаружит, что для неких достаточно больших целых чисел x,y,z,n, n>2, верно равенство x^n+y^n=z^n? Ведь наша уверенность, что это невозможно, основывается лишь на аксиомах математики и правилах вывода, истинность которых ниоткуда не следует. (Вообще-то я не изучал последнее доказательство, но готов предположить, что оно, как и более ранние доказательства ограниченных форм теоремы Ферма, использует весьма нетривиальные области анализа и алгебры. Вполне может быть, что не обошлось, скажем, без какой-нибудь формы "спорной" аксиомы выбора. И совсем уж маловероятно, что доказательство воспроизводимо в интуиционистской математике.)

Thirteensmay[досье] Ваши идеи мне нравятся, надо подумать. Чем-то они мне напомнили рассуждения Черча о денотатах и смыслах (концептах) символов. Есть такая чудесная книжка "Введение в математическую логику" Черча, введение к которой, в свою очередь, содержит весьма занимательные философские рассуждения. Не читали?

Кстати, по вопросу 2 у вас осталась неясность. Вы пишете: "Информация - есть контекстный продукт обработки данных. Данные - это первоначальные сведения о предметной области, получаемые от органов чувств, датчиков, и т.п." И затем: "Таким образом не сомневайтесь, извлекая следствия из аксиом мы получаем информацию" А где тут, с позволения спросить, данные? Математика прекрасно дееспособна и без органов чувств. Разве нет? Вы же не будете вспоминать Энгельса и его определение математики :)

По вопросу 4 ваш ответ понятен, но я ведь его и подразумевал. Смущает меня полное противоречие с формальной теорией информации. Как бы снять это противоречие? Пусть теория информации оперирует лишь с идеальным сферическим конем, но не должно выходить так, что этот конь больше смахивает на медведя :)

По моей классификации вы, конечно, идеалист :) Вы же допускаете получение информации из "ниоткуда", путем обработки данных.

Еще мне кажется, что в настойчивых утверждениях Евгения Тарасова, что информация есть алгоритм, много справедливого. Может быть, и правда всякое знание можно определить как частично-рекурсивную функцию? :) И даже разумно соотнести это с теорией информации?

спустя 4 часа [обр] Thirteensmay(9/157)[досье]

Даниил:

Есть такая чудесная книжка "Введение в математическую логику" Черча,
Не читали ?

Нет. То что я здесь высказал является обобщением моих знаний. Знания же
эти основываются на тех курсах с которыми я ознакомился в процессе получения
дипломов (коих у меня 2), электроник-программист, и информационщик,
основы взяты конечно от второго, а именно из курсов: "Интеллектуальные ИС",
"Представление знаний", "Экспертные системы", "СППР", ну и конечно я статейки
разные почитываю, кое что и из них. В общем случае понимая неидеальность
математики, (тут я согласен с Евгением, X в нулевой степени = 1,
хоть и доказано, но такое доказательство есть ничто иное как притягивание
осла за уши, доказать можно все что угодно, а смысл ?), так вот, понимая
неидеальность математики, я считаю главенствующим понимание смысла вещей.
Да, без математики в конечном счете пока всеравно никуда, но всеже это имхо
вторично, хотя и необходимо. Наверное поэтому Вы и причислили меня к
идеалистам ;) Математика она тоже в известной степени прикладная ;)

Кстати, по вопросу 2 у Вас осталась неясность. Вы пишете:
"Информация - есть контекстный продукт обработки данных.
Данные - это первоначальные сведения о предметной области", И затем:
"Таким образом не сомневайтесь, извлекая следствия из аксиом
мы получаем информацию" А где тут, с позволения спросить, данные ?

О, Даниил, это потому что Вы еще не доконца осознали коварность предложенного
мной ;) Дело в том что я не определяю метода обработки, а лишь даю определения
трем основным сущностям: данные, информация и знания, указывая на их смысл.
Метод их обработки определяется разработчиком системы, и впринципе может быть
произволен. Тут все зависит от того как будет трактоваться понятие "аксиома".
Аксиома может быть и данными (например в виде текста в учебнике),
и информацией (если она была прочитана и обработана в некотором контексте),
и знаниями (если система достаточно высокоуровнева чтобы сделать это).
Более того, аналитический аппарат при определенных условиях может рассматривать
и информацию и знания как данные (просто более высокоуровневые) для того
чтобы на их основе получить новую информацию и знания.

Например: В базе знаний некоторой системы имеется 3 знания: что a = b, что
дополнительные сведения о b можно найти в источнике X, и что существует
некоторое с, отлично. Теперь допустим что у системы есть цель установить
связь между a и c (опускаю рассуждения о целях, это уж совсем оффтоп).
Так вот, если наша система достаточно ителлектуальна, то рано или поздно
она выяснит, что единственный вариант установить такую связь - это больше
узнать о b (ведь b связано как минимум с a). Тут будет все просто, она
получит данные из источника X, начнет их осознавать и выяснит что есть
аксиома утверждающая что b = c ! О чудо !, задача решена ;) a = c ! Мы получили
это новое знание всего из двух аксиом (a = b, b = c), причем вторую пришлось
еще и осознавать.

Даниил, это не бред, такие эксперименты проводились еще в 50-х, на лампах,
и доказали свою состоятельность. Тогда все уперлось в производительность,
более чем заставить обезьяну подставить ящик чтобы дотянуться до банана
не удалось, но мы развиваемся ;) Мой дед например, здоровья ему, в то время
коров пас (хотя далеко не дебил), а в этоже время народ разрабатывал
атомную бомбу. Это я к тому что хрен его знает какая ситуация сложилась
в настоящее время, вполне возможно мы просто об этом ничего не знаем.

По поводу вопросов 3, 4: Смущает меня полное противоречие с формальной
теорией информации. Как бы снять это противоречие ? Пусть теория информации
оперирует лишь с идеальным сферическим конем, но не должно выходить так,
что этот конь больше смахивает на медведя :)

Абсолютно с Вами согласен, не должно. И кстати не выходит, если принять
во внимание хронологию разработки теорий. Дело все в том что с современной
точки зрения "теория информации" это "теория данных". С данными у нас слава
богу к текущему моменту все более менее ;) А вот с преподавателями подобными
15 тонному катку... ;) Это не "теория информации" это "теория данных", хотя
согласно законам жанра в ней много идей которые можно перенести вверх. Ну
не измеряется информация в битах, это данные ;) Понятно ? - сигнализируйте ;)

По моей классификации Вы, конечно, идеалист :) Вы же допускаете получение
информации из "ниоткуда", путем обработки данных

Ну пусть идеалист, но не из "ниоткуда", а из данных, с сопутствущими затратами
энергии на обработку, и т.п. ;)

Еще мне кажется, что в настойчивых утверждениях Евгения Тарасова,
что информация есть алгоритм, много справедливого.

Даниил, да представить все что угодно, так как угодно, конечно можно, и
даже доказать это. Таков наш мир. Вопрос в том сколько у Вас потенциальных
адептов, т.е. сколько людей имеет наиболее близкий контекст. То что я высказал
преподается в институтах, а то что Евгений ? Пусть он хоть сто раз прав,
всеравно задавят. Тем более, думаю что "моя" теория всеже несколько более
проработана.

спустя 37 минут [обр] Thirteensmay(9/157)[досье]

Тарасов Евгений (0/3) 2006-08-17 12:32:28 Пишет:
Вы путаете понятия. данные и информация. Один из вас дал такое определение: данные, это такая информация, которую можно обработать. Из этого следует вывод, что существует информация, которую обработать нельзя. Определитесь с понятием, что такое данные.

>>> Евгений, мы беседуем, каждый высказывает свою точку зрения, если он это делает аккуратно, то это принимается к обсуждению. В результате обсуждения формируется наиболее оптимальная точка зрения. Я такого определения не давал. К текущему моменту мы не путаем определения, я как мне кажется дал четкие понятия "данные" и "информация". Народ сильно не протестовал, соответственно см. толкование этих определений выше ;)

Информация - есть контекстный продукт обработки данных.
Данные - это первоначальные сведения о предметной области.

спустя 8 минут [обр] VIG(24/839)[досье]

Даниэль Алиевский[досье]

Теорему-то Ферма тоже кто-то русский доказал, если не ошибаюсь?

Ошибаетесь, ее доказал один американец, основываясь на работах одного японца.

Тем не менее, мы успешно применяем теорию вероятности на практике. Где проходит граница применимости этой теории? Мы вроде бы имеем право спросить, сколько информации содержится в утверждении "у меня на руках такие-то карты" (разумеется, в контексте, как без него - предполагая, скажем, что мы изначально знаем, в какую карточную игру играем). В чем принципиальное отличие от утверждения "я ношу зеленую шляпу"?

Принципиальное отличие в следующем.

В случае с карточной игрой, имеются четко определенное множество случайных равновероятных исходов (предполагая, что карты тасуются честно). Поэтому здесь применима теория вероятностей, теория информации и так далее.

К утверждению "я ношу зеленую шляпу" можно также подойти с этой стороны. Назовем "исходами" цвета шляп, носимых различными людьми, включая null для ходящих без головного убора. Припишем исходам вероятности, то ли из статистики, то ли из каких других соображений. Предположим, что "я" — это случайно выбранный человек. Тогда и только тогда мы сможем сказать, что в утверждении "я ношу зеленую шляпу" содержится некоторая информация и даже подсчитать оную.

В противном случае, безо всех этих предположений, теория информации просто неприменима, и вопрос о количестве информации в утверждении "я ношу зеленую шляпу" не имеет смысла (математического). Бытовой смысл, конечно, остается, основанный на неоднозначной семантике слова "информация", некоторых аналогиях (у каждого — своих) и так далее. Но это уже не наука. И "объемы контекста" тут совершенно не при чем.

Где-то прочитал, воспроизвожу по памяти.

Математика не может ответить на вопрос "Обрушится ли этот мост?". Этот вопрос находится вне области применимости математики, не имеет и не может иметь математического смысла. Но математика может ответить на вопрос: "Какие силы будут действовать в такой-то точке балки такой-то формы и размеров из материала с таким-то коэффициенном упругости при таких-то нагрузках."

Так что "граница применимости" любой теории проходит именно там, где с одной стороны выполняются предпосылки этой теории, а с другой стороны — не выполняются.

Я же спрашиваю - получили ли вообще математики хоть сколько-то информации.

Об "информации", в теоретико-информационном смысле, здесь говорить бессмысленно (см. выше). Вопрос не имеет ответа, поскольку не имеет смысла.

Как вы считаете, может ли случиться так, что однажды некий человек, проверяя (доказанную) теорему Ферма на компьютере, неожиданно обнаружит, что для неких достаточно больших целых чисел x,y,z,n, n>2, верно равенство x^n+y^n=z^n? Ведь наша уверенность, что это невозможно, основывается лишь на аксиомах математики и правилах вывода, истинность которых ниоткуда не следует.

Невозможно, если в доказательстве нет ошибок. Почему? Потому что арифметика и логика непротиворечивы. Почему непротиворечивы? Потому что есть модели (множество целых чисел и множество вершин единичного (гипер)куба), в которых выполняются все аксиомы соответствующей теории. Точка.

Еще раз: аксиомы "истинными" или "ложными" не бывают. Система аксиом может быть противоречивой или непротиворечивой. Теория, построенная на некоторой непротиворечивой системе аксиом, может быть полезной или не очень. Это зависит от области ее применимости, но к самой теории, т.е. к математике, отношения не имеет.

Еще мне кажется, что в настойчивых утверждениях Евгения Тарасова, что информация есть алгоритм, много справедливого.

Это Ваше с Тарасовым ощущение, как мне кажется, сродственно Незнайкиному: "Облако — это кисель. Что я, киселя не ел?" :-)

спустя 2 дня 21 час [обр] Тарасов Евгений дубль два+++[досье]
Как вы можете рассуждать вообще, что такое информация, если даже не знаете, что такое логика?
Вы думаете, что логика, это наука, а это на самом деле закон природы.
наука - это процесс познавания мира с помощью логики, это синтез и анализ данных.
Неужели так трудно из этого сделать ЛОГИЧЕСКИЙ вывод, что сама логика наукой не является а?
доказательство:
Я беру бильярдный шар в руку и разжимаю ее. Бильярдный шар упадет вниз.
Логично?
Да, ответите вы, потому что есть закон притяжения.
Но если бы вы не знали этого закона, что же, шар бы не упал чтоли?
Мир потому и познаваем, что существует логика!
Если бы ее не было, мы бы вообще не вывели ни одного закона природы!!!!
Если вы и после этого будете утверждать, что логика это наука, то вы просто балбесы тогда.
Других слов, простите , у меня просто нет.
А коли вы способны признать, что логика это ЗАКОН, то начните рассуждать о сути информации исходя из этого пустулата.
Поймите наконец, что все в мире относительно (с) Эйнштейн. Относительно логики (с)Тарасов.
Логика существует только двоичная, все остальные логики, включая математическую вторичны.
спустя 1 час 28 минут [обр] Илья Cтpeльцын aka SelenIT(4/171)[досье]

Кстати, я вспомнил еще один пример из жизни, где знание получается путем бинарного поиска с помощью закрытых вопросов. Это всевозможные определители, часто используемые в естественных науках (зоологии, ботанике, минералогии и т.п.), например, http://fish.krasu.ru/opred/index_op.shtml (первое, что нашлось в гугле). Конечно, в процессе использования определителя могут возникать дополнительные вопросы (например, "являются ли вот эти объекты, которые я наблюдаю на теле данной рыбы, костными жучками?"), ответ на которые приходится искать в других источниках. Однако общее количество закрытых вопросов остается конечным и сравнительно небольшим...

Тарасов Евгений дубль два[досье]
Уточнение: "все в мире относительно" — (c) Галилей. Эйнштейн как раз нашел ряд исключений из этого правила.

спустя 2 часа 8 минут [обр] Ярослав Витязев[досье]

Даниэль Алиевский[досье]
Быть может это определение будет более или менее корректным. Конечно, все зависит от конекста, в котором используется этот термин.

Информация — это сведения, данные и факты, выделенные из среды с определенной целью.

И именно на конкретную цель (контекст) стоит опираться, воспринимая этот термин.

спустя 8 часов [обр] Тарасов Евгений дубль два+++[досье]

Илья Cтpeльцын
Думаю, Галилей меня простит...

Всякое природное явление должно иметь источник энергии, с помощью которого это явление проявляется (иначе оно вообще бы не могло проявиться).
вот вам ДОКАЗАТЕЛЬСТВО!!!!!, что логические функции имеют свою энергию.
Самое интересное, что вам этих доводов недостаточно. В сием элементарном логическом суждении вы стремитесь найти либо логический парадокс, либо еще что то. А у логики парадоксов не бывает в принципе, вы даже этого не в состоянии понять.
Все парадоксы появляются оттого, что у каждого человека разное понятийное множество и крайне сложно бывает понять, что 2 одинаковые формулировки означают одно и то же.
Подобные вещи начинают происходить сразу же, когда в след за элементарной логической функцией стоит другая такая же (к примеру).
Элементарные логические функции тем хороши и уникальны, что у них НЕТ понятийного подмножества. Именно поэтому их и следует выбирать для доказательства какой либо теории информации.
Судя по постам здесь, Илья, наше с вами предположение о том, что всякий сложный вопрос состоит из элементарных, вводит большинство форумчан в некоторый ступор. Им надо доказывать это не на таком примере, который привели вы.
Даже вы, похоже, не понимаете, что вопроса то простейших всего 4.
дело все в том, что форумчане не знают что такое "вопрос".
Как можно что-то доказать человеку, когда нет точного определения что такое "вопрос"? Каждый думает об этом что-то свое, а скорее всего, никто из присутствующих, даже никогда себе этого вопроса не задавал! Вот в чем проблема.
Давайте определяться с терминами.

всем

Что такое вопрос господа?
Что такое ответ? уж простите, думаю, что и на это у вас нет ответа.
Так мы никуда с вами не уедем.
Вот вам определение Тарасова:
Вопрос, это "однозначно поставленная ЛОГИЧЕСКАЯ задача имеющая один неизбыточный ответ".
Какой именно логикой пользоваться для решения задачи значения не имеет.
Возьмем логику двоичную.
Поскольку двоичная логика однозначна и неопределенности в ней НЕ БЫВАЕТ, то всякая логическая задача (абстрактных задачь в двоичной логике тоже НЕ БЫВАЕТ! Двоичная логика всегда работает в заданном интервале с заранее определенными состояниями на входе) имеет решение.
При этом задачу, естесственно, тоже надо давать в двоичном виде.
Подчеркиваю ВСЯКАЯ ДВОИЧНАЯ задача имеет решение (а то некоторые тут думают, что бывают парадоксы в логике. Привидите мне пример парадокса в двоичной логике, я пожму вашу руку).
Так вот, возвращаясь к вопросу, что такое "вопрос":
Всякая ДВОИЧНАЯ (уточнение для особо одаренных. Далее речь пойдет только о двоичной логике)логическая задача, он же "вопрос" имеет решение, которое можно записать в виде алгоритма.
Алгоритм состоит в определенной последовательности и ветвлений простейших логических функций, а может состоять и из одной функции (если например задача: коньюнкция).
Если логическая задача связана с временным фактором, то на помощь приходит ячейка памяти и автоматы. Надеюсь, ни у кого пока нет сомнений в правильности моих тезисов. Смысла вам доказывать, что любой рациональный вопрос можно задать в двоичном виде, я не вижу. Далее:
Внимание ТЕЗИС:
Для каждой поставленной двоичной задачи имеется только один неизбыточный алгоритм!
Доказывается тезис легко:
Возьмем задачу: коньюнкция из 3-х входов.
коньюнкцию можно выполнить используя алгоритм их 1-го коньюнктора и из 2-х (включив коньюнкторы последовательно).
Избыточным алгоритмом будет являться 2-й вариант и в сформированном бите второго коньюнктора будет присутствовать не только ответ на вопрос коньюнкции, но и на вопрос "избыточен ли для коньюнкции такой сложный алгоритм".
Т.е. мы получили 2 бита информации. Один ответ на вопрос, который задали, а второй ответ на вопрос, который и не собирались задавать.
Из этого примера хорошо видно, что на вопрос коньюнкции, избыточными будут все прочие алгоритмы, кроме одной коньюнкции.
Если брать более большие задачи,требующие более сложных алгоритмов, то неизбыточные алгоритмы для решения каждой из них также окажется единственными, потому что это двоичная логика и понимать каждую задачу можно только однозначно.
Если алгоритм получится избыточен хоть на один лишний бит (элементарную логическую функцию), то значит мы получим ответ не только на поставленный вопрос, но и на какой то еще. Два одинаковых по объему и разных по своим логическим связям алгоритма, быть в двоичной логике тоже не может, потому что любой "альтернативный" алгоритм кроме заданного вопроса, отвечал бы и на этот: "существует ли для заданного вопроса другие решения при равных по объему алгоритмах?". Это знание, палюбому еще 1 бит информации о поставленной задаче, и, заметьте, подобного вопроса никто не задавал в условии. Этот вопрос мог родиться только в процессе поиска решений (кем то или чем то). Это факт РОЖДЕНИЯ новой информации, меняет понятийное множество для решаемой задачи. С появлением новой информации условие становится не актуальным т.е. заданным не корректно. Корректный вопрос теперь звучал бы так: Найдите 1-е из 2-х возможных решений этой задачи,и т.д. а в понятийное множество об этой задаче целиком заносится найденный алгоритм.
Поэтому, пока альтернативный алгоритм не найден, неизбыточный алгоритм для любой логической задачи всего один.

Таки что же такое вопрос?
Вопрос, это четко поставленная задача, на которую возможен только один истинно верный и неизбыточный ответ.

Теперь, коли мы знаем, что такое вопрос и ответ, можно говорить и о том, сколько где информации находится.
 О том, сколько бит в вашем ответе КОЛЕ "да" на его вопрос "синие глаза у Вали или нет?":
Точное количество бит в этой информации "да" в конкретный момент времени будет зависеть от длины неизбыточного алгоритма у Вас в голове при N ном количестве ваших исходных данных о Вале, Коле и всех, кого это может касаться.
При этом для Коли, ваше "да", будет содержать иное количество бит, которое зависит от его понятийного множества.

спустя 5 дней [обр] Даниэль Алиевский(6/125)[досье]

Извините, что за недостатком времени не успеваю ответить всем и по делу. Но хоть отвечу на самое провоцирующее (IMHO) утверждение.
VIG[досье]

"Как вы считаете, может ли случиться так, что однажды некий человек, проверяя (доказанную) теорему Ферма на компьютере, неожиданно обнаружит, что для неких достаточно больших целых чисел x,y,z,n, n>2, верно равенство x^n+y^n=z^n? Ведь наша уверенность, что это невозможно, основывается лишь на аксиомах математики и правилах вывода, истинность которых ниоткуда не следует."

Невозможно, если в доказательстве нет ошибок. Почему? Потому что арифметика и логика непротиворечивы. Почему непротиворечивы? Потому что есть модели (множество целых чисел и множество вершин единичного (гипер)куба), в которых выполняются все аксиомы соответствующей теории. Точка.

Еще раз: аксиомы "истинными" или "ложными" не бывают. Система аксиом может быть противоречивой или непротиворечивой. Теория, построенная на некоторой непротиворечивой системе аксиом, может быть полезной или не очень. Это зависит от области ее применимости, но к самой теории, т.е. к математике, отношения не имеет.

Мне в этом ответе видятся минимум две серьезные проблемы.

  1. При чем тут непротиворечивость? Берем аксиомы арифметики, допустим, Пеано, и заменяем системой аксиомой, неформально звучащей так:
Существует лишь одно число 1. 1+1=1, 1*1=1.

Эта система аксиом непротиворечива даже с большей степенью уверенности, что и классическая, при этом прямо противоречит классической (где натуральных чисел бесконечно много). Но числа, которыми мы оперируем на практике, ей не удовлетворяют. Как можно из непротиворечивости выводить, что некий экспериментальный факт, касающийся функционирования компьютеров, никогда не будет иметь места? (Конечно же, правильно запрограммированных, исправных компьютеров.) Геометрическая аксиоматика евклидовой геометрии - как нам кажется - тоже непротиворечива, однако в применении к окружающему нас пространству она неверна! (Что обычно формулируют фразой "пространство криволинейно".)

  1. Вы уверены в непротиворечивости, ибо "есть модели". Перечитайте теорему Геделя. Чтобы доказать, что ваша модель формальной арифметики - множество натуральных чисел - существует, надо сначала предположить истинность (а не просто непротиворечивость) аксиом арифметики. Если окажется, что арифметика противоречива, то - в предположении истинности более фундаментальных аксиом - можно утверждать, что множества натуральных чисел вовсе не существует! Гедель же доказал, что как бы вы не пытались доказать непротиворечивость арифметики - даже не пользуясь моделями - вам придется прибегнуть к помощи теории более сильной, чем сама арифметика, непротиворечивость которой уже ставится под вопрос.

Кстати, при чем тут единичный гиперкуб? Даже простейшая логика не сводится к булевой алгебре (если вы об этом), а оперирует хотя бы кванторами общности и существования.

спустя 2 дня 1 час [обр] VIG(24/839)[досье]

Даниэль Алиевский[досье]

Как можно из непротиворечивости выводить, что некий экспериментальный факт, касающийся функционирования компьютеров, никогда не будет иметь места? (Конечно же, правильно запрограммированных, исправных компьютеров.) Геометрическая аксиоматика евклидовой геометрии - как нам кажется - тоже непротиворечива, однако в применении к окружающему нас пространству она неверна! (Что обычно формулируют фразой "пространство криволинейно".)

Оказалось, что я не способен понять смысл процитированного отрывка. Поэтому, увы, отвечать не берусь ....

Вы уверены в непротиворечивости, ибо "есть модели". Перечитайте теорему Геделя. Чтобы доказать, что ваша модель формальной арифметики - множество натуральных чисел - существует, надо сначала предположить истинность (а не просто непротиворечивость) аксиом арифметики. Если окажется, что арифметика противоречива, то - в предположении истинности более фундаментальных аксиом - можно утверждать, что множества натуральных чисел вовсе не существует! Гедель же доказал, что как бы вы не пытались доказать непротиворечивость арифметики - даже не пользуясь моделями - вам придется прибегнуть к помощи теории более сильной, чем сама арифметика, непротиворечивость которой уже ставится под вопрос.

Еще раз, любые аксиомы истинны по определению. К "экспериментальным фактам" или "окружающему пространству" это обстоятельство не имеет никакого отношения. Системы аксиом могут быть противоречивыми и непротиворечивыми. Теории, построенные на противоречивых системах аксиом, практического смысла не имеют, поскольку в таких теориях доказуемо любое утверждение.

Вторая теорема Геделя говорит о том, что в любой теории Т, включающей аксиомы арифметику натуральных чисел и аксиомы доказуемости, утверждение "Т непротиворечива" доказуемо тогда и только тогда, когда Т противоречива.

Ну и что?

Доказывать, что множество натуральных чисел существует не нужно. Оно просто предъявляется. Доказывать, что на этом [бесконечном] множестве выполняются аксиомы арифметики не нужно. Для любого конечного подмножества множества натуральных чисел это очевидно (просто проверим все возможные случаи методом перебора). Все построения Геделя относятся только и исключительно к бесконечным множествам.

Меня лично вполне устраивает следующее: тот факт, что бесконечное множество натуральных чисел удовлетворяет аксиомам арифметики, следует из принципа математической индукции. Поэтому арифметика может быть противоречивой только тогда, когда принцип математической индукции неверен ...

Формальная недоказуемость непротиворечивости арифметики, грубо говоря, в рамках ее самой, конечно, весьма интересный факт. Но я бы не стал делать из него далеко идущие выводы, типа, а вот если огромаднейший компьютер будет газиллион лет проверять, что a+b=b+a, то может случиться, что для очень больших чисел окажется, что это не так. Не окажется. И не случится.

спустя 2 дня 21 час [обр] Даниэль Алиевский(6/125)[досье]

VIG[досье]

"Как можно из непротиворечивости выводить, что некий экспериментальный факт, касающийся функционирования компьютеров, никогда не будет иметь места? (Конечно же, правильно запрограммированных, исправных компьютеров.) Геометрическая аксиоматика евклидовой геометрии - как нам кажется - тоже непротиворечива, однако в применении к окружающему нас пространству она неверна! (Что обычно формулируют фразой "пространство криволинейно".)"

Оказалось, что я не способен понять смысл процитированного отрывка. Поэтому, увы, отвечать не берусь ....

Что именно я сформулировал неясно?

Все мы верим, что евклидова геометрия непротиворечива (точнее, это следует из непротиворечивости арифметики). При этом евклидова геометрия "очевидным" образом применима к окружающему нас пространству. Но лишь в XX веке физики обнаружили, что в реальном, окружающем нас пространстве аксиомы Евклида (конкретно, "пятый постулат") неверны, ибо геометрия реального трехмерного пространства более сложна (описывается общей теорией относительности).

В чем здесь принципиальное отличие от арифметики? Мы берем пять палочек - или, если угодно, рисуем цифру 5, или программируем двоичное число 101 - и говорим, что данное явление материального мира превосходно моделируется понятием арифметики Пеано "5" (то бишь 1'''', если штрихом обозначать операцию следования). И что поскольку мы доверяем аксиоматике Пеано и используемой нами логике, то мы делаем вывод, что утверждения относительно выдуманных нами, чисто умозрительных "натуральных чисел" будут истинными применительно к тем материальным объектам, которые мы называем "числами" в реальной жизни - например, к результатам работы компьютеров. Почему?

Тут целых две очевидных (по-моему) логических пробела. Во-первых, с чего мы взяли, что натуральные числа, известные нам из математики, всегда и везде являются адекватными моделями тех чисел, с которыми мы имеем дело в реальности? Например, с цепочками битов в процессорах или, на худой конец, с нарисованными знаками на бумаге? Евклидовы прямые и плоскости являются очень точными моделями тех "прямых" и "плоскостей", с которыми мы сталкиваемся в материальном мире, и понадобилась исключительная точность приборов XX века, чтобы обнаружить расхождение. Почему бы и "огромаднейшему" компьютеру за "газиллион" лет лет обнаружить, что на каких-то реальных числах закон коммутативности неверен?

Во-вторых - то, о чем я говорил в цитате - при чем тут непротиворечивость? Каким образом из непротиворечивости вытекает "истинность"? Я специально привел пример непротиворечивой теории - евклидовой геометрии - которая при тривиальном применении к окружающему миру оказывается неверной. Если хотите, вот вам другой пример непротиворечивой теории. Алфавит теории - буква "A" и символы "&", "~" (я разумею "отрицание"). Единственная аксиома: "A". Единственное правило вывода - из любой цепочки букв "A" выводима новая цепочка символов, получаемая присоединением к ней буквы "A". Очевидно, теоремами теории будут цепочки букв A любой длины. Очевидно, теория непротиворечива - ибо нельзя вывести ни одной теоремы, содержащей знак отрицания :) Ну и что? Истинна эта теория или нет?

Еще раз, любые аксиомы истинны по определению. К "экспериментальным фактам" или "окружающему пространству" это обстоятельство не имеет никакого отношения. Системы аксиом могут быть противоречивыми и непротиворечивыми. Теории, построенные на противоречивых системах аксиом, практического смысла не имеют, поскольку в таких теориях доказуемо любое утверждение.

По-моему, аксиомы не истинны и не ложны. Они просто аксиомы. Некоторые цепочки символов, из которых по определенным правилам получаются другие цепочки символов (теоремы). Если мы уверены, что некоторые аксиомы являются истинными в реальном мире - когда используемым в них символам сопоставлены определенные реальные явления - и если мы так же уверены в "адекватности" правил вывода, то мы можем использовать это для изучения окружающей Вселенной. Так, если не сомневаться в арифметике, соответственно - анализе и геометрических теориях, то можно применять риманову геометрию к изучению кривизны пространства.

Доказывать, что множество натуральных чисел существует не нужно. Оно просто предъявляется. Доказывать, что на этом [бесконечном] множестве выполняются аксиомы арифметики не нужно. Для любого конечного подмножества множества натуральных чисел это очевидно (просто проверим все возможные случаи методом перебора).

Ну как же :) Предъявить бесконечное множество невозможно в принципе. А "очевидны" аксиомы могут быть для множеств из пяти-шести элементов. Как бы это Вы лично проверили даже тривиальнейшие аксиомы Пеано даже для 2^32 натуральных чисел, используемых большинством 32-разрядных компьютеров?

Все построения Геделя относятся только и исключительно к бесконечным множествам.

Конечно - здесь они доказали, как мне кажется, несостоятельность - в некотором смысле - человеческого интеллекта. Но без бесконечностей, вроде бы, довольно трудно выстроить даже самую элементарную математику. Но если даже возможно (не изучал вопрос специально) всю математику, находящую практическое применение в физике и (точнее) технике, свести к финитным методам - даже тогда остается вопрос, откуда у нас уверенность в правильности этих финитных рассуждений. Они, может быть, и конечны, но оперируют столь большими числовыми множествами, что ни один самый трудолюбивый математик не сможет проверить истинность исходных аксиом за время своей жизни.

Меня лично вполне устраивает следующее: тот факт, что бесконечное множество натуральных чисел удовлетворяет аксиомам арифметики, следует из принципа математической индукции. Поэтому арифметика может быть противоречивой только тогда, когда принцип математической индукции неверен ...

Пожалуйста, аккуратнее. Возьмите какой-нибудь учебник по основаниям арифметики и используйте общепринятые термины, а то мы совсем запутаемся. "Принцип математической индукции", по моей терминологии, есть последняя (кажется, пятая - говорю по памяти) аксиома Пеано. Возможная формулировка: всякое множество натуральных чисел имеет наименьший элемент.
Аксиома, кажется, неверная, если рассматривать, скажем, класс всех кардинальных чисел (он не множество, в смысле аксиоматики теории множеств). Ну и что?

...проверять, что a+b=b+a, то может случиться, что для очень больших чисел окажется, что это не так. Не окажется. И не случится.

А почему? Откуда такая уверенность? Мне бы тоже хотелось в это верить, но аргументов я как-то не вижу.

Забавно, но (как я помню) Бурбаки начинают свой фундаментальный труд "Начала математики" с оговорки (в предисловии или введении): "мы верим, что современная математика не содержит противоречий". Извините, если неточно цитирую - не хочется в данный момент доставать книжку.

спустя 6 часов [обр] VIG(24/839)[досье]

Даниэль Алиевский[досье]

Очевидно, теория непротиворечива - ибо нельзя вывести ни одной теоремы, содержащей знак отрицания :) Ну и что? Истинна эта теория или нет?

Мне кажется, что Вы вконец запутались в семантике, и все Ваши затруднения и неуверенности именно отсюда и проистекают. Вопрос "истинна ли эта теория или нет?" заведомо не имеет математического смысла, и, по-видимому, "бытового" смысла в нем тоже не слишком много.

Немного определений (не очень строгих — лень — но понять можно :-):

  1. Утверждение (формула) называется истинным (ложным), если не существует (существует контрпример).
  2. Утверждение (формула) называется доказуемым, если оно выводимо из аксиом.
  3. Система аксиом называется противоречивой, если из нее можно вывести одновременно и формулу и ее отрицание.
  4. Теорией называется множество доказуемых утверждений (иногда, правда, теорией называют само множество аксиом).

Теории, построенные на противоречивых системах аксиом, практического смысла иметь не могут.

Еще раз, математическая теория не может быть "истинной" или "ложной". Эти прилагательные сюда просто неприложимы (правда, коммунисты так не считали, отсюда и "лженаука кибернетика").

Мы берем пять палочек - или, если угодно, рисуем цифру 5, или программируем двоичное число 101 - и говорим, что данное явление материального мира превосходно моделируется понятием арифметики Пеано "5"
Во-первых, с чего мы взяли, что натуральные числа, известные нам из математики, всегда и везде являются адекватными моделями тех чисел, с которыми мы имеем дело в реальности? Например, с цепочками битов в процессорах или, на худой конец, с нарисованными знаками на бумаге?

Опять все с ног на голову. В "реальности" мы с числами дела не имеем. Нету в "материальном мире" числа 5. Не существует. Нигде. Никогда. А на счетах, на бумаге или в памяти компьютеров мы оперируем с математическими абстракциями, строя их материальные модели. Если наши модели правильные, т.е. удовлетворяют аксиоматике соответствующих математических понятий, то мы принципиально не можем получить что-либо противоречащее теории. А если не удовлетворяют — то полученный результат к исходной теории отношения не имеет.

спустя 8 часов [обр] Даниэль Алиевский(6/125)[досье]

VIG[досье] Тогда уж мы оба запутались в семантике. Это вы назвали аксиомы "истинными": "Еще раз, любые аксиомы истинны по определению." Или - "если принцип математической индукции неверен". А я попытался убедить вас, что такие заявления лишены смысла. Аксиомы и теории (математически), разумеется, не могут быть истинными или ложными. Раз мы согласны в этом, замечательно.

Я же поднял вопрос не об истинности математических утверждений, а об истинности утверждений об окружающем мире! Еще раз специально это подчеркну. Я спрашиваю не "верна ли теорема Ферма", а "верно ли, что ни один программист ни на одном компьютере никогда не подберет контрпример" (еще лучше - ни "никогда", а конкретно "в ближайшую тысячу лет"). Вот это утверждение уже может быть истинным либо ложным. Точно так же, как утверждение "в ближайшую тысячу лет мы не сумеем построить сверхсветовой космический корабль" или "мой банк в ближайший год не обанкротится".

С вашими определениями в целом согласен. 1-е, правда, все же страдает нестрогостью - надо уточнить, что если понятие "формула" относится к теории, то понятие "истинно" - к метатеории. Пример еще одного определения с этими же терминами: "теория называется полной, если всякое истинное утверждение в ней доказуемо" (кажется, так).

Все остальное верно, если добавить, что речь идет только о теориях, расширяющих классическое исчисление высказываний. (Теория вовсе не обязана вообще иметь символ отрицания. А бесполезность противоречивых теорий следует из того факта, что в любом классическом исчислении высказываний доказуема формула "из p и не p следует q", что совместно с "p и не p" по modus ponens даст q. Т.е. противоречивая теория вырождается в тривиальную, где доказуемо любое утверждение q. Мой пример теории не был расширением исчисления высказываний.)

Опять все с ног на голову. В "реальности" мы с числами дела не имеем. Нету в "материальном мире" числа 5. Не существует. Нигде. Никогда. А на счетах, на бумаге или в памяти компьютеров мы оперируем с математическими абстракциями, строя их материальные модели.

Пожалуйста, пожалуйста, это дело термина. Я сказал, что в компьютере обрабатываются числа, а на бумаге я рисую прямую, математические же аналогичные понятия служат для них моделями. Так привычнее для не-математиков. Вам больше нравится говорить, что в компьютере обрабатываются электрические сигналы, а на бумаге я рисую полосы, и то и другое может служить моделями математических абстракций. Суть моих двух вопросов от этого не меняется.

Во-первых, с чего мы взяли, что наши материальные модели удовлетворяют аксиоматике соответствующих теорий?
(Конкретно, я задаю вопрос об арифметике и тех материальных "псевдо-числах", которые имеют место на бумаге и в компьютерах.) Принцип математической индукции, например, никак невозможно проверить на материальных предметах - придется проверять бесконечно долго.

Чего уж там, вот вам совсем забавное рассуждение! Допустим, мы хотим проверить (на компьютере или на бумажке) фундаментальную аксиому арифметики натуральных чисел - принцип математической индукции. Пусть мы согласны ограничиться первыми N натуральными числами. В конце концов, это тоже невредно - может быть, будем уверены хотя бы в истинности (т.е. применимости к компьютерам) арифметики по модулю N. Как это сделать? Я знаю две формулировки - "для любого предиката P(x), если верно P(1) и для любого n из P(n) следует P(n+1), то для любого n верно P(n)" и "любое множество натуральных чисел имеет наименьший элемент" (где понятие "меньше" определяется, например, через операцию следования или через вводимую изначально операцию сложения). Первая формулировка для проверки не годится - число предикатов опять же бесконечно (или астрономически) велико. Вторая формулировка требует, как легко видеть, не менее O(N * 2^N) операций. При N=100 получится примерно 10^32, при N=1000 - примерно 10^1033. Вывод: чтобы убедиться в справедливости аксиом арифметики для натуральных чисел от 1 до 100, которые известны нам с начальной школы и которые мы можем легко выписать на бумажке, необходимы 3 тысячи лет работы миллиона суперкомпьютеров с быстродействием квадрильон (10^15) целочисленных операций в секунду. (10^15 * 30 000 000 = 3e22 операций в год, так что нужно порядка 3 миллиардов компьютеро-лет.) Что уж говорить о "проверке" аксиом хотя бы для классических компьютерных 32-разрядных целых чисел.

Во-вторых, с чего вы (уже не "мы" :)) взяли, что если модели удовлетворяют аксиоматике ("правильные"), то мы принципиально не можем получить чего-либо противоречащее теории? Прямо на поверхности уже лежит возражение - мы же не знаем, противоречива ли арифметика (и никогда не сможем это доказать, согласно теореме Геделя - не прибегая к более сильным, т.е. еще более сомнительным теориям). Есть и более глубокие возражения. Например: даже если бы мы доказали непротиворечивость арифметики (скажем, для конечного ее варианта), то любые основанные на этом заключения о реальном мире (вроде невозможности обнаружить противоречие конкретным человеком) все равно опираются хоть на какие-то логические правила и предпосылки, например, аксиомы и правила вывода исчисления предикатов. Но как мы можем быть уверены, что применительно к реальному миру эта базовая логика работает верно?

Да, в самой математике данная проблема не стоит, просто за отсутствием в формальной теории понятия "истинность". Но мы-то применяем математику на практике, и хотелось бы понимать, откуда у нас взялась уверенность в правомочности такого применения.

спустя 19 минут [обр] Даниэль Алиевский(6/125)[досье]

Еще, VIG - убирая понятие истинности, мы ведь просто уходим от вопроса. Ну да, так проще всего - считать, что математики лишь играют символами и не получают никакой информации. Что в принципе не существует вопроса, верна ли теорема Ферма - или, если угодно, равенство P=NP. Но это неинтересно. Реально множество математиков (а иногда и программисты вроде меня) сидят ночами, ищут доказательства или контрпримеры, чтобы узнать, верна или неверна пришедшая им в голову гипотеза. Можно сказать, что они "всего лишь" бессмысленно комбинируют значки по правилам вывода - но зачем? Для каждого из них важно быть уверенными, насколько можно доверять используемой математике. Для очень многих из них было катастрофой обнаружение парадоксов в теории множеств, без которой к концу XIX века уже было очень сложно выстроить основные разделы математики (это к моему "во-вторых", насчет непротиворечивости). Физикам же пришлось создавать новые теории, когда выяснилось, что евклидова геометрия не описывает наше пространство (это к моему "во-первых", насчет истинности). Почему с арифметикой натуральных чисел не может произойти нечто подобное?

И - повторяю - разумеется, никто не дает вам права убирать вопрос об истинности, если исследуемый вопрос имеет хоть какое-то отношение к практике. Если я пишу алгоритм, который будет управлять космическим кораблем, и для уверенности в корректности алгоритма мне необходимо доказать некоторую математическую гипотезу (скажем, что метод сопряженных градиентов сходится для моей системы уравнений) - то вопрос, истинна данная гипотеза или нет, становится не просто осмысленным, а жизненно важным для экипажа.

спустя 6 часов [обр] Андрей Пахомов(5/310)[досье]

Даниэль Алиевский[досье]
честно, скажу, все что тут было написано - не осилил, слишком много букв, но из того, что я таки смог прочитать у меня возникло впечатление, что вы несколько неверно интерпретируете математику и все что из нее следует. В свое время нам в институте преподавали, что любая теория имеет свою ценность, и что лишь математические теории бесценны, потому как они не имеют рамок применимости. Все же физические теории ВСЕГДА имеют рамки применимости, и соответсвенно - конечную ценность, и тот пример что вы приводили про Евклидову геометрию и теорию относительности - это смешение мягкого с теплым. Евклидова геометрия - как математическая модель - правомочна на все 100% и никаких разночтений быть не может, так же как и геометрия Лобачевского или Римана, они просто построены на разном наборе постулатов, в данном конкретном случае - знаке и значении кривизны пространства. Рассуждения о том, дает ли мат. теория какую то информацию или нет - бессмысленны, потому как без применения к чему либо мы не сможем наложить на данную теорию границы применимости и соответственно оценить ее. Евклидова геометрия имеет границы применимости и какую то ценность только в том случае, когда она используется лишь как модель для описания РЕАЛЬНОГО мира, иначе ее ценность равна бесконечности (насколько я понимаю, не из-за того, что содержит бесконечное количество информации, а из-за того, что мы никогда не сможем оценить истинный объем информации, который она содержит).

Для каждого из них важно быть уверенными, насколько можно доверять используемой математике. Для очень многих из них было катастрофой обнаружение парадоксов в теории множеств, без которой к концу XIX века уже было очень сложно выстроить основные разделы математики (это к моему "во-вторых", насчет непротиворечивости).

Хм. Это как ? Есть формальная логика и все утверждения математики и доказательства основаны на ней. Следовательно, в рамках этой логики ее результаты опровергнуть невозможно. И компьютер, который будет проверять свойства коммутативности натуральных чисел никогда не сможет опровергнуть это свойство эксперементально, потому как выйти за рамки этой самой логики не сможет. А если вы решили отказаться от логики - то компьютер вам ни к чему, моя дочь безо всяких проблем объяснит вам, что после 2-х идет 5, и что 1+2=8.

спустя 14 минут [обр] Alexander O(15/460)[досье]
чтобы убедиться в справедливости аксиом арифметики для натуральных чисел от 1 до 100, которые известны нам с начальной школы и которые мы можем легко выписать на бумажке

Как уже сказал VIG

 В "реальности" мы с числами дела не имеем. Нету в "материальном мире" числа 5. Не существует. Нигде. Никогда. А на счетах, на бумаге или в памяти компьютеров мы оперируем с математическими абстракциями, строя их материальные модели.

Так что на бумажке проверить не получится. Тогда уже проверять арифметику нужно на яблоках и на конфетах.

спустя 2 часа 31 минуту [обр] VIG(24/839)[досье]

Даниэль Алиевский[досье]

Я же поднял вопрос не об истинности математических утверждений, а об истинности утверждений об окружающем мире! Еще раз специально это подчеркну. Я спрашиваю не "верна ли теорема Ферма", а "верно ли, что ни один программист ни на одном компьютере никогда не подберет контрпример" (еще лучше - ни "никогда", а конкретно "в ближайшую тысячу лет"). Вот это утверждение уже может быть истинным либо ложным. Точно так же, как утверждение "в ближайшую тысячу лет мы не сумеем построить сверхсветовой космический корабль" или "мой банк в ближайший год не обанкротится".

Истинность утверждений об окружающем мире к математике никакого отношения не имеет.

Ответ на вопрос "верно ли, что ни один программист ни на одном компьютере никогда не подберет контрпример" — утвердительный. Если кто-либо когда-либо найдет такие натуральные числа x, y, z, n>2, что вычисления на компьютере дадут x^n+y^n=z^n, то данный феномен будет лишь означать, что либо компьютер неисправен, либо программа с ошибками (включая программы/схемы машинных команд).


Похоже, я понял природу Ваших затруднений. Они, вероятно, проистекают из [достаточно некорректного] понятия "математическая модель".

Рассмотрим обычное окружающее нас трехмерное пространство. К сожалению, весьма распространенным является следующее крайне неряшливое утверждение: "Евклидова геометрия является математической моделью реального трехмерного пространства". Отсюда и возникают проблемы с "истинностью" евклидовой геометрии в свете развития наших знаний/представлений об окружающем нас мире.

На самом деле, все ровно с точностью до наоборот. Хотя Вы и пишете "пожалуйста, пожалуйста, это дело термина", но, по всей видимости, не осознаете глубочайшей разницы между своим и моим подходами ...


Попробую еще раз.

Евклидова геометрия существует сама по себе, в абсолютно неизменном виде и безотносительно к нашим знаниям/представлениям о Вселенной. Но "физики" подметили, что, если принять некоторые предположения о реальном мире и ввести некоторые обозначения, то результаты геометрических вычислений совпадают с результатами экспериментов (измерений и пр.).

Поэтому возникла и утвердилась физическая ГИПОТЕЗА: окружающее нас пространство описывается евклидовой геометрией. Эту гипотезу, естественно, "доказать" нельзя. Можно лишь проводить экспериментальные исследования, и пока эксперименты давали подтверждающие результаты, вера ученый в справедливость гипотезы об абсолютной евклидовости пространства ширилась и крепла.

А потом — бац! Провели эксперименты, давшие результаты, расходящиеся с теоретическими. О чем это говорит? Да только о том, что исходная физическая гипотеза была неверна. А евклидова геометрия как существовала, так и будет существовать.


Еще пример. Не имея адекватного математического аппарата, Поль Дирак придумал свою знаменитую дельта-функцию, которая на тот момент не имела ну абсолютно никакого математического смысла. Но оказалось, что если делать некие формальные выкладки по определенным правилам, то получаемые "результаты" соответствуют экспериментальным данным. И бравые физики-теоретики, поверив в методику Дирака (еще раз, не имевшую никакого отношения к математике), стали пользоваться этим "аппаратом" направо и налево.

Дирак оказался удачливым, в том смысле, что гораздо позже была создана математическая теория обобщенных функций и было показано, что придуманные им "шаманские" приемы действительно имеют смысл. А сколько иных казавшихся интересными, но тем не менее канувших в Лету трюков было придумано физиками-теоретиками ...


В случае же теоремы Ферма, проблемы P=NP и тому подобное ситуация отличается принципиально. Это чисто математические утверждения, опять же существующие безотносительно к нашим знаниям о реальном мире. А для удобства, эффективности и пр. мы просто строим материальные модели соответствующих областей математики, в том числе и компьютеры с нужными программами.

Во-первых, с чего мы взяли, что наши материальные модели удовлетворяют аксиоматике соответствующих теорий? (Конкретно, я задаю вопрос об арифметике и тех материальных "псевдо-числах", которые имеют место на бумаге и в компьютерах.) Принцип математической индукции, например, никак невозможно проверить на материальных предметах - придется проверять бесконечно долго.

С чего мы взяли? Да просто мы в это верим, имея перед глазами целую кучу подтверждающих экспериментов, тестов и тому подобное.

Разница же с "евклидовостью/римановостью пространства" и прочими физическими гипотезами просто радикальная: если какая-либо "материальная модель математики" даст результаты, расходящиеся с предсказанными математической теорией, то ничего этакого р-р-революционного в науке не произойдет: мы просто узнаем, что данный компьютер/софт не работает. И всё.

Да, в самой математике данная проблема не стоит, просто за отсутствием в формальной теории понятия "истинность". Но мы-то применяем математику на практике, и хотелось бы понимать, откуда у нас взялась уверенность в правомочности такого применения.

Надеюсь, я это сумел объяснить: это наша вера в справедливость соответствующих физических гипотез, основанная на практике. Не более и не менее.

спустя 15 часов [обр] Даниэль Алиевский(6/125)[досье]
Истинность утверждений об окружающем мире к математике никакого отношения не имеет.

Зачем утверждать вещи, с которыми я много раз уже согласился?

Ответ на вопрос "верно ли, что ни один программист ни на одном компьютере никогда не подберет контрпример" — утвердительный. Если кто-либо когда-либо найдет такие натуральные числа x, y, z, n>2, что вычисления на компьютере дадут x^n+y^n=z^n, то данный феномен будет лишь означать, что либо компьютер неисправен, либо программа с ошибками (включая программы/схемы машинных команд).

Где же логика? Куда вы подевали две самые интересные возможности: что либо 3) известная нам арифметика содержит противоречия, а найденный контрпример совместно с теоремой Ферма является доказательством, что арифметика противоречива (так же как оказалась противоречивой "наивная" теория множеств), либо 4) цепочки битов, которые в компьютерах служат для изображения натуральных чисел, не удовлетворяют аксиомам арифметики Пеано.

Евклидова геометрия существует сама по себе, в абсолютно неизменном виде и безотносительно к нашим знаниям/представлениям о Вселенной. Но "физики" подметили, что, если принять некоторые предположения о реальном мире и ввести некоторые обозначения, то результаты геометрических вычислений совпадают с результатами экспериментов (измерений и пр.).

Согласен. Правильно, что "физики" в кавычках, ибо подметили это еще древние греки (тот же Евклид). И я бы сказал не "результаты геометрических вычислений", а - более конкретно - некоторые фундаментальные предположения, вроде существования непересекающихся прямых, которые несколько позже оформились в стройную аксиоматику геометрии. А раз некоторые физические, измеримые понятия, вроде расстояний или геодезических линий (условно называемых прямыми), с хорошей точностью удовлетворяют аксиомам, то, следовательно, все теоремы геометрии тоже можно применять для умозаключений о физическом пространстве. Правильно?

Поэтому возникла и утвердилась физическая ГИПОТЕЗА: окружающее нас пространство описывается евклидовой геометрией. Эту гипотезу, естественно, "доказать" нельзя. Можно лишь проводить экспериментальные исследования, и пока эксперименты давали подтверждающие результаты, вера ученый в справедливость гипотезы об абсолютной евклидовости пространства ширилась и крепла.

А потом — бац! Провели эксперименты, давшие результаты, расходящиеся с теоретическими. О чем это говорит? Да только о том, что исходная физическая гипотеза была неверна. А евклидова геометрия как существовала, так и будет существовать.

Все совершенно правильно. Исходная гипотеза неверна.
Я лишь предлагаю перенести подобные рассуждения в область арифметики. Мы с детства и начальной школы учимся подсчитывать предметы, обозначая их количества, скажем, десятичными числами. Наши предки давно подметили некоторые закономерности: к примеру, что от порядка сложения общее количество предметов не изменится. Причем это касается именно натуральных чисел, в какой-то степени - вещественных (уже к приближенным вещественным измерениям это не относится). Со временем удалось вычленить из подмеченных закономерностей систему аксиом, допустим, Пеано, и ввести строгую математическую абстракцию, которая звучит примерно так:

Натуральные числа суть элементы некоторого множества N, на котором задана операция ' (следования, или "+1"), обладающего следующими свойствами:
1) существует число 1, такое, что для любого натурального a неверно a'=1;
2) для любого a существует a', притом единственное;
3) если a'=b', то a=b;
4) индукция: если M - подмножество N, 1 принадлежит M, и для любого a из (a принадлежит M) следует (a' принадлежит M), то M=N

Да, действительно, многочисленные эксперименты с палочками да яблоками, равно как и операции вроде умножения столбиком, а сегодня - компьютерные вычисления (которые по сути мало отличаются от раскладывания счетных палочек, только очень быстрого), убеждают нас, что все эти правила, так же как и их следствия, обычно выполняются. Поэтому весьма правдоподобна физическая гипотеза: для подсчета палочек и любых других предметов (скажем, денег, или - с определенными оговорками - для моделирования физических величин) можно применять вышеупомянутую абстракцию. Но это лишь гипотеза. Поэтому повторяю еще раз.

  1. Вдруг эта гипотеза неверна? Что вас, как физика (если вы в какой-то мере физик :)) убеждает вас в истинности гипотезы? Та же евклидова геометрия проверялась лишь в ограниченном диапазоне условий, и ничего удивительного, что в более необычных местах вселенной она совсем не годится (возле черных дыр). И сегодня вряд ли мы будем уверенно заявлять, что известная нам криволинейная геометрия из ОТО всегда и везде правильно описывает физическое пространство, даже в тех ситуациях, которые крайне далеки от наших теорий и возможностей эксперимента. Очень может быть, что в непосредственной близости от Большого Взрыва (или, скажем, в параллельной вселенной) геометрия пространства иная.

Возьмем теперь натуральные числа. Да, в известной нам области, при работе с небольшими натуральными числами (соответственно, при работе с десятичными дробями не очень большой точности), ни одна аксиома либо теорема арифметики за историю человечества не нарушилась. Но мы только что изобрели компьютеры. Разве обработка 128-битных целых чисел или, тем более, чисел неограниченной точности не так же далеки от изученной человечеством "области", как черные дыры от землемерия? Хуже того, как я уже писал, полностью проверить аксиому индукции почти невозможно даже для первых 100 чисел. (Чтобы вы не придирались к термину, уточню - ее невозможно проверить для набора из 100 групп палочек, содержащих соответственно 1, 2, ..., 100 палочек. Или - если угодно - невозможно проверить для компьютерных байтов от 1 до 100.) Коммутативность, положим, для сранительно маленьких чисел проверить можно, но вот более тонкие утверждения теории чисел (или тем более алгебры или анализа), по-моему, без принципа индукции никак не доказать.

Между прочим, любой программист, наверно, скажет, что проверить принцип индукции для n чисел можно и за полиномиальное время - перебирая все множества M, можно изначально не рассматривать такие, которые не удовлетворяют посылке сформулированной выше аксиомы. А это означает, по сути, проверку единственного множества 1,2,...,n, которое постепенно наращивается. Может быть. Хотя рассуждение небесспорное - доказать, что сей не совсем тривиальный алгоритм эквивалентен проверке всех множеств, можно лишь опираясь на хоть какую-то арифметику. Да и что мы, собственно, выясним? Достроив множество до максимума n, мы будем вынуждены нарушить и посылку (n' уже не принадлежит множеству), и следствие (понятно, что это множество отлично от n). В общем, тут мои рассуждения не додуманы - может быть, аксиомы арифметики, корректно урезанной до конечного кольца вычетов, вполне поддаются проверке. Но все равно остаются большие числа, которые современные компьютеры проверить не могут, и бесконечности, без которых нетривиальные математические теоремы не доказать.

Так на чем же основана наша вера в применимость абстракции Пеано к работе с очень большими количествами "палочек"?

  1. И опять - а вдруг эта абстракция не то что неприменима к компьютерам и палочкам, а попросту противоречива? У нас ведь и в этом нет и не может быть уверенности. И, в отличие от физики, многочисленные эксперименты тут помочь не могут. Тогда что? Слепая вера?

В XIX веке большинство математиков еще твердо верили в то, что отрицание аксиомы параллельных делает евклидову аксиоматику противоречивой. Оказалось, что не так. До конца XIX века все считали, что "очевидные" аксиомы, касающиеся множеств, не ведут к противоречиям, и особо не задумывались над исследованием вопроса. Потом оказалось, что предположение, что для всякого свойства P(x) можно рассмотреть множество всех x, для которого оно верно, ведет к противоречиям. Может быть, в XXI веке принцип индукции тоже приведет нас к противоречиям? Которые, например, выразятся в обнаружении контрпримера к теореме Ферма?

С чего мы взяли? Да просто мы в это верим, имея перед глазами целую кучу подтверждающих экспериментов, тестов и тому подобное.

Я уже написал выше. Эта куча весьма скромная. Она неплохо убеждает нас, что при подсчете денег у кассы можно смело применять сложение столбиком. И даже что синусы и косинусы применяемых на практике углов при суммировании квадратов дают 1. Но относительно поведения больших чисел у нас пока нет почти никаких экспериментов. Применяемые в компьютерах числа возрастают год от года. Относительно очень сложных утверждений, вроде теоремы Ферма или нетривиальных свойств простых чисел, у нас нет "кучи" экспериментов и для малых чисел. Единственное, на чем основана уверенность в их истинности - аксиоматика, прежде всего, вероятно, индукция, но проверить ее для бесконечного множества невозможно, а для конечных - может быть, тоже не так просто.

Разница же с "евклидовостью/римановостью пространства" и прочими физическими гипотезами просто радикальная: если какая-либо "материальная модель математики" даст результаты, расходящиеся с предсказанными математической теорией, то ничего этакого р-р-революционного в науке не произойдет: мы просто узнаем, что данный компьютер/софт не работает. И всё.

Да ну? Если (не дай бог) такое произойдет, мы узнаем, что не работает не данный компьютер, а любой компьютер, работающий по сходным программам. Более того, что почти любой алгоритм может давать сбои на не проверявшихся ранее числах, как бы тщательно мы его не доказывали и не тестировали. Нам придется срочно переходить к "урезанной" версии арифметики для конечных колец вычетов, аксиомы которой поддаются непосредственной проверке (я пока не разобрался, насколько это реально), и делить всю математику (от мат. анализа до теории групп) на ту, которую можно построить на такой арифметике, и всю остальную (которая окажется "под сомнением"). Кажется, это будет гораздо хуже кризиса теории множеств.

Надеюсь, я это сумел объяснить: это наша вера в справедливость соответствующих физических гипотез, основанная на практике. Не более и не менее.

Да, сумели :) И мы пришли к тому, с чего начали. Мои вопросы, утрированно, звучат так: неужели вся современная наука и техника держатся лишь на слепой вере в непогрешимость арифметики в областях, неимоверно далеких от тех арифметических действий, которые когда-либо проверялись практикой? Или же тут, кроме веры, есть некое знание (которое я легкомысленно назвал информацией)?

спустя 1 день 13 часов [обр] VIG(24/839)[досье]

Даниэль Алиевский[досье]

Да ну? Если (не дай бог) такое произойдет, мы узнаем, что не работает не данный компьютер, а любой компьютер, работающий по сходным программам. Более того, что почти любой алгоритм может давать сбои на не проверявшихся ранее числах, как бы тщательно мы его не доказывали и не тестировали. Нам придется срочно переходить к "урезанной" версии арифметики для конечных колец вычетов, аксиомы которой поддаются непосредственной проверке (я пока не разобрался, насколько это реально), и делить всю математику (от мат. анализа до теории групп) на ту, которую можно построить на такой арифметике, и всю остальную (которая окажется "под сомнением").

Еще раз: если "такое" произойдет, мы узнаем только, что не работает данный конкретный компьютер в сочетании с данной конкретной программой. И ВСЁ.

Ничего по этому поводу нам делать не придется и никуда переходить не понадобится.

Остальное, как бы это помягче сказать, не более, чем плод Вашего неуемного воображения ... ой, а что будет если ... ужас-то какой ...

Не волнуйтесь и повторяйте почаще, особенно на ночь, мантру проф. Китайгородского: "Этого не может быть, потому что этого не может быть никогда!" :-))

спустя 50 минут [обр] VIG(24/839)[досье]

Даниэль Алиевский[досье]

Мои вопросы, утрированно, звучат так: неужели вся современная наука и техника держатся лишь на слепой вере в непогрешимость арифметики в областях, неимоверно далеких от тех арифметических действий, которые когда-либо проверялись практикой?

Насчет практики. Не могу удержаться и не рассказать одну из моих любимых историй.

Сижу как-то, никого не трогаю, очередной примус починяю. Вдруг приходит начальник, весь из себя вдохновленный, и начинает радостно вещать, как все будет замечательно, если мы сделаем то-то и то-то. Слушаю, прикидываю к носу и осознаю: если эту инициативу тут же, на месте не растоптать грязным сапогом, то всем нам в ближайшее же время мало не покажется. Перебиваю излияния и намеренно грубо говорю: "Нет, так делать нельзя, получится говно" (употребил именно это слово, shit). Он смотрит на меня глазами ребенка, у которого отняли конфету, и обиженным голосом выдает замечательную фразу: "Откуда ты знаешь, ты же не пробовал?"

Понимаете, бремя доказательства всегда лежит на "ниспровергателях основ". Бессмысленно обсуждать пропозиции типа "откуда мы знаем, что не существует очень больших чисел a и b, для которых a+b не равно b+a, мы же не пробовали?"

Сумеете привести хоть какой аргумент в пользу качественного различия между числом 47 и числом с двоичной записью длиной 10^10...00 бит, который мог бы хоть на йоту поколебать мою уверенность в том, что известные нам законы арифметики выполняются и для таких больших чисел? Кроме "мы же не пробовали складывать такие большие числа" ...

спустя 8 часов [обр] Даниэль Алиевский(6/125)[досье]

Забавно, у меня, видимо, манера излагать такая :) Мне начинают сочувствовать и задумываться, а как бы мне помочь. Причем, как правило - когда я задаю весьма абстрактные вопросы. А у меня просто привычка - задавать странные вопросы. Помогает не давать ржаветь мозгам.

Конечно, у меня нет паранойи по поводу "а вдруг вся математика сломается". Но и "вечные" вопросы я не склонен игнорировать. Всегда интересно, что думают по этому поводу умные люди. В данном случае тема обозначена в заголовке. Вот мы получаем со всех сторон различную информацию - от других людей, из эксперимента, из рассуждений ("чистого разума"). Что это за информация? Как ее измерить? О чем эта информация? Имеют ли смысл эти вопросы, и если нет, то почему?

А сейчас я задался самым простым вопросом (единственным, кстати, для которого в метаматематике созданы хоть какие-то нетривиальные теории) - насколько можно доверять этой информации? И почему? Осмысленность этого вопроса, применительно к математике, сомнений не вызывает - раз на этих сведениях основана почти вся современная техника.

Все эти вопросы, разумеется, имеют свойство не иметь ответов. Но, размышляя об этом (равно как и о "смысле жизни", или о Большом Взрыве, или о привидениях) мы, кажется, имеем шансы еще немножко приблизиться к пониманию, что такое наш мир и мы сами. Появляются разные соображения. Если их озвучить, получится, конечно, нечто крайне наивное (вроде того: математика является информацией о программе, по которой работают человеческие мозги, либо это некая подсказка от Творца, вроде "Бог создал натуральные числа"), но все-таки такие размышления мне не кажутся бесполезными.

Вы можете сказать RTFM. Но, к сожалению, Кант пишет очень тяжелым языком. К тому же он еще ничего не знал о кризисе математики и переосмыслении ее возможностей, произошедшем в XX веке - поэтому некоторые его рассуждения выглядят очень наивными (вернее, устаревшими). Хотя, конечно, необразованность меня не извиняет.

Бессмысленно обсуждать пропозиции типа "откуда мы знаем, что не существует очень больших чисел a и b, для которых a+b не равно b+a, мы же не пробовали?"

Ну вот не совсем бессмысленно, не совсем. Именно размышляя о таких вещах, математики в XIX веке строго обосновали бесконечно малые и переход к пределу, а в XX создали аксиоматику теории множеств. Вы, случайно, не знаете - может быть, уже давно разработана финитная арифметика (плюс теория конечных множеств с ограничением сверху мощности), на которую я намекал выше? Аксиомы которой можно проверить?

Сумеете привести хоть какой аргумент в пользу качественного различия между числом 47 и числом с двоичной записью длиной 10^10...00 бит, который мог бы хоть на йоту поколебать мою уверенность в том, что известные нам законы арифметики выполняются и для таких больших чисел?

А как насчет чисел Ферма? Первые 4 оказались простыми, а 5-е во времена Ферма проверить не удавалось из-за слишком большой трудоемкости - и была сформулирована гипотеза, что все они простые.

Да, я прекрасно знаю, что в истории арифметики практически все найденные контрпримеры к тем или иным гипотезам лежали в области небольших натуральных чисел. И это, между прочим, единственный убедительный довод в пользу того, что на числах уровня 2^1E10 не будут обнаружены новые закономерности (или противоречия). Но кто-нибудь может сказать, почему это так? "Подсказка от Творца" для слабого человеческого разума? Вот в физике, скажем, все прямо наоборот - стройные теории разваливаются именно тогда, когда мы забираемся достаточно далеко от привычных условий.

спустя 10 часов [обр] VIG(24/839)[досье]

Даниэль Алиевский[досье]

Вот мы получаем со всех сторон различную информацию - от других людей, из эксперимента, из рассуждений ("чистого разума"). Что это за информация? Как ее измерить? О чем эта информация? Имеют ли смысл эти вопросы, и если нет, то почему?

Первое, что нужно сделать, если мы говорим о научном подходе, — это избавиться от ложных аналогий и аллюзий, проистекающих из употребления известных, понятных слов в необычных контекстах. В данном случае, слова "информация".

Давайте договоримся, что от других людей, из экспериментов, в результате рассуждений мы получаем, скажем, грокинг. Тогда кажется вполне разумными такие вопросы:

  1. Что вообще это такое — грокинг? Нет, на интуитивном уровне мы это осознаем, но речь идет именно о научном определении.
  2. Какими свойствами обладает (должен обладать) грокинг? Так сказать, его аксиоматика.
  3. Как определить численную меру любого грокинга? Если этого нельзя сделать в принципе, то вопрос заведомо лежит вне научной плоскости, и дальнейшее обсуждение теряет смысл. Или же мы должны вернуться к п.1 и пересмотреть определение. Или же мы должны ограничиться изучением измеримых видов грокинга, например, случайными событиями и теорией информации (но нам-то хочется большего!).
  4. Какими свойствами обладает (должна обладать) определенная в п.3 метрика грокинга? От чего эта метрика зависит?
  5. Как измерять грокинг?

Я не вижу причин, по которым было бы невозможно найти ответы на эти вопросы. Другое дело, что они, эти вопросы, заведомо не имеют простых правильных ответов ...

К тому же он еще ничего не знал о кризисе математики и переосмыслении ее возможностей, произошедшем в XX веке ...

Я бы не стал говорить о "кризисе" и "переосмыслении возможностей" математики. Ничего особенного с математикой в ХХ веке не произошло.

А то, что произошло, связано, главным образом, с семантикой, причем с семантикой одного-единственного слова "всё". До того математики упротребляли это слово, как в быту, не слишком задумываясь о его точном, формальном, математическом значении. Но оказалось, что так поступать нельзя — получаются парадоксы и противоречия, типа классического "Брадобрей бреет всех, кто не бреется сам. Кто бреет брадобрея?".

Была сформулирована и развита теория, точно определяющая и регламентирующая употребление слова "всё". Появились новые подходы, отличающиеся от классического отношением к бесконечности (поскольку в конечных случаях никаких парадоксов и противоречий не появляется). И так далее. Но на математике, как таковой, этот "кризис" не слишком сказался, равно как и все последующие телодвижения.

Вы, случайно, не знаете - может быть, уже давно разработана финитная арифметика (плюс теория конечных множеств с ограничением сверху мощности), на которую я намекал выше?

А тут ничего разрабатывать и не нужно — все давно имеется в наличии. Только "теория конечных множеств" весьма тривиальна, поскольку, кроме определений и базовых операций с известными свойствами, никаких особо содержательных результатов не получено, и, по-видимому, их и не существует.

Что же касается "финитной арифметики" — это не что иное, как арифметика по модулю N. Кстати, некоторые из нас, как герой Мольера, могут с удивлением узнать, что "всю жизнь говорили прозой". Потому что можно считать, что все практические вычисления на компьютерах делаются не с любыми целыми числами, а с числами по модулю 2^k, для не слишком больших k ...

А как насчет чисел Ферма? Первые 4 оказались простыми, а 5-е во времена Ферма проверить не удавалось из-за слишком большой трудоемкости - и была сформулирована гипотеза, что все они простые.

Есть такое понятие, называется "неполная индукция". Выяснили, что для n=1,2,3,4 выполняется некоторое свойство, в данном случае, что числа 2^(2^n)+1 для этих значений n простые. Почему так — абсолютно непонятно, но прямое вычисление показывает, что выполняется. Ну и выдвинули гипотезу (предположение, догадку), что это свойство выполняется для всех натуральных чисел. Иногда такие догадки оказываются справедливыми, иногда нет, но я бы не стал делать отсюда какие-либо далеко идущие "философские" выводы.

Случай с основаниями математики совершенно иной. Скажем, "любое подмножество множества натуральных чисел имеет минимальный элемент". Почему так — абсолютно понятно. Более того, не известно вообще ни одного аргумента в пользу того, что это свойство может по каким-либо причинам оказаться неверным, даже для очень больших чисел.

Разницу ощущаете?

Вот в физике, скажем, все прямо наоборот - стройные теории разваливаются именно тогда, когда мы забираемся достаточно далеко от привычных условий.

Различие между физикой и математикой именно в том и состоит, что в физике единственным методом является неполная индукция: проводим наблюдения, делаем эксперименты, обнаруживаем некоторые закономерности, делаем вывод, что найденные закономерности справедливы всегда.

Иногда такие выводы выдерживают проверку временем, иногда нет. Ну и что?

Еще раз: в физике существуют только гипотезы. Нет, никогда не было и никогда не будет ни одного физического закона или, если угодно, физической теоремы, что бы там ни писали в учебниках.


У одного из моих любимых фантастов, Евгения Лукина, есть замечательный афоризм: "В споре рождается коллективное заблуждение, а истиной его называют для краткости" ...

спустя 1 час 2 минуты [обр] VIG(24/839)[досье]

Даниэль Алиевский[досье]

О проблеме P=NP и математике в целом.

Помимо всего прочего, положительный ответ вопрос P?=NP будет означать конец математики, как науки, в ее современном состоянии. А с другой стороны, это можно было бы расценить, как переход математики на качественно иной [мета]уровень ...

См. http://www.claymath.org/millennium/P_vs_NP/pvsnp.pdf и, в частности, предпоследний абзац на стр.6.

спустя 3 дня [обр] Даниэль Алиевский(6/125)[досье]

VIG[досье]
Кто, собственно, говорит о научном подходе? Мои вопросы исключительно ненаучны, ибо лежат за пределами существующих наук. А иначе какой смысл их задавать? Совершенно понятно, что попытка перевести разговор в "научное" русло немедленно приводит к тому, что термины четко не определены, а если дать им какое-либо строгое научное толкование, то вопросы исчезнут сами собой. Это неинтересно. Ибо смешно предполагать, что мы тут "с кондачка" родим новую теорию, в которой термины получат нетривиальное толкование. Однако интересно пофантазировать немного за пределами имеющейся науки, может быть, в области гипотетических будущих строгих теорий.

Я бы не стал говорить о "кризисе" и "переосмыслении возможностей" математики. Ничего особенного с математикой в ХХ веке не произошло.

Мое образование здесь крайне дилетантское и фрагментарное, но то, что я читал (книги по логике и метаматематике), произвело на меня некоторое впечатление. "Кризис" - это не мой термин, а кого-то из классиков Насколько помню этого автора (Бурбаки? Клини? увы, не скажу), сейчас имеет место третий кризис математики, начавшийся с парадоксов Кантора ("мощность 2^M строго больше мощности M" противоречит понятию "множество всех множеств") и затем Рассела ("множество всех множеств, не являющихся элементами самого себя" - является ли оно собственным элементом?) Первый кризис - обнаружение иррационального числа sqrt(2) греками, второй - нестрогость понятия бесконечно малого.

А под "переосмыслением" я понимаю создание конструктивной и интуиционистской математики, попытки отказаться от принципа исключенного третьего, рассмотрение различных аксиоматик, понимание, что даже в учебниках мат. анализа нужно оговаривать некоторые положенные в основу аксиомы (например, аксиому выбора).

А то, что произошло, связано, главным образом, с семантикой, причем с семантикой одного-единственного слова "всё". До того математики упротребляли это слово, как в быту, не слишком задумываясь о его точном, формальном, математическом значении. Но оказалось, что так поступать нельзя — получаются парадоксы и противоречия, типа классического "Брадобрей бреет всех, кто не бреется сам. Кто бреет брадобрея?".

Была сформулирована и развита теория, точно определяющая и регламентирующая употребление слова "всё". Появились новые подходы, отличающиеся от классического отношением к бесконечности (поскольку в конечных случаях никаких парадоксов и противоречий не появляется). И так далее. Но на математике, как таковой, этот "кризис" не слишком сказался, равно как и все последующие телодвижения.

Ну не совсем, не совсем, насколько я понимаю. Про брадобрея - это вовсе не парадокс, а всего лишь доказательство отсутствия такого брадобрея. Точная регламентация коснулась главным образом не слова "всё", а терминов "множество всех x, таких, что P(x)" и принципа исключенного третьего, как мне помнится. А на математике "как таковой" кризис проявился, во-первых, в создании интуиционистской версии (не получившей, правда, распространения - ибо новые парадоксы не обнаруживались) и в отказе, увы, от попыток убедиться в непротиворечивости хотя бы арифметики.

А тут ничего разрабатывать и не нужно — все давно имеется в наличии. Только "теория конечных множеств" весьма тривиальна, поскольку, кроме определений и базовых операций с известными свойствами, никаких особо содержательных результатов не получено, и, по-видимому, их и не существует.

Если вы действительно знаете, то дайте хотя бы какую-нибудь ссылку. "Весьма тривиальная" теория конечных множеств мне неизвестна. Я ведь говорю не о части теории множеств, которая относится к множествам конечным. А о цельной формальной теории, которая бы нигде не оперировала с бесконечностями. Конечный алфавит, конечный набор допустимых предложений, исключительно конечные множества (или хотя бы натуральные числа) в аксиоматике. Я такой пока не видел.

Что же касается "финитной арифметики" — это не что иное, как арифметика по модулю N. Кстати, некоторые из нас, как герой Мольера, могут с удивлением узнать, что "всю жизнь говорили прозой". Потому что можно считать, что все практические вычисления на компьютерах делаются не с любыми целыми числами, а с числами по модулю 2^k, для не слишком больших k ...

Эта... вы, типа, думаете, я не знаю, как считают компьютеры? :) Я вроде сам упоминал сей любопытный факт.

Случай с основаниями математики совершенно иной. Скажем, "любое подмножество множества натуральных чисел имеет минимальный элемент". Почему так — абсолютно понятно. Более того, не известно вообще ни одного аргумента в пользу того, что это свойство может по каким-либо причинам оказаться неверным, даже для очень больших чисел.

Анекдот. Однажды студент пришел на экзамен по физике, как водится, не подготовившись. Профессор спрашивает: "Что такое электрон?" Студент долго мнется, думает, в конце концов признается: "Профессор, вы знаете, еще вчера я знал, что это такое. Но сегодня, ну как на грех, забыл! Уж извините." Профессор отвечает: "Ох, какая беда! Ведь еще вчера в мире был единственный человек, который знает, что такое электрон. И тот забыл!"

Если вам абсолютно понятно, "почему" это так, то это чрезвычайно удивительно. Человеческая интуиция совершенно не в состоянии вообразить или хоть как-то представить число, большее, допустим, 10^100000000. И тем более множество таких чисел.

У одного из моих любимых фантастов, Евгения Лукина, есть замечательный афоризм: "В споре рождается коллективное заблуждение, а истиной его называют для краткости" ...

Хорошее дело - такие заблуждения :) Я же создал эту тему, пожалуй, по мотивам утверждения некоего персонажа моих любимых фантастов Стругацких - именно Кристобаля Хозевича Хунты. Примерно так: "Какой смысл решать задачу, если известно, что она уже имеет решение? Куда интереснее решать задачи, не имеющие решения!"

О проблеме P=NP и математике в целом.

Помимо всего прочего, положительный ответ вопрос P?=NP будет означать конец математики, как науки, в ее современном состоянии. А с другой стороны, это можно было бы расценить, как переход математики на качественно иной [мета]уровень ...

Вы же вроде уже знаете, что ответ положительный :) Может, все-таки скажете серьезно: что за доказательство вы нашли? Опубликовано ли оно, и если нет, то почему?

Возможность найти доказательство любого утверждения за полиномиальное время меня как-то не очень вдохновляет. Чтобы, скажем, построить точную модель атмосферы, с точностью до молекулы, тоже нужно полиномиальное (если не линейное) время.

спустя 9 часов [обр] VIG(24/839)[досье]

Даниэль Алиевский[досье]

Кто, собственно, говорит о научном подходе? Мои вопросы исключительно ненаучны, ибо лежат за пределами существующих наук. А иначе какой смысл их задавать? Совершенно понятно, что попытка перевести разговор в "научное" русло немедленно приводит к тому, что термины четко не определены, а если дать им какое-либо строгое научное толкование, то вопросы исчезнут сами собой. Это неинтересно. Ибо смешно предполагать, что мы тут "с кондачка" родим новую теорию, в которой термины получат нетривиальное толкование. Однако интересно пофантазировать немного за пределами имеющейся науки, может быть, в области гипотетических будущих строгих теорий

Понимаете, "за пределами существующих наук" лежат почти все знания, ибо знаем мы ничтожно мало, несмотря на весь прогресс человеческой цивилизации.

Но то, что находится "за пределами существующих наук" вовсе не обязательно ненаучно. Другое дело — подход, метод. Ненаучный подход позволяет спорить ad infinitum о числе ангелов на острие иглы. Не вдохновляет, поскольку беспредметно. Научный же подход предполагает, что начинать надо с создания определений.

Конечно, маловероятно, что в обсуждении на форуме может родиться новая теория. Но, по крайней мере, можно попробовать несколько подходов и посмотреть, где и почему они не работают. Я не о цельной теории говорю, а о самых начальных определениях.

"Фантазирование" же меня мало привлекает. Главным образом, потому, что сфантазировать что-то нетривиальное ничуть не легче, а гораздо сложнее, чем какую крутую теорему доказать. Не помню кого из великих математиков спросили об одном из его учеников. "Ах, этот", - ответил корифей. - "Этот стал поэтом, для математики у него явно не хватало воображения".

"Кризис" - это не мой термин, а кого-то из классиков Насколько помню этого автора (Бурбаки? Клини? увы, не скажу), сейчас имеет место третий кризис математики, начавшийся с парадоксов Кантора ("мощность 2^M строго больше мощности M" противоречит понятию "множество всех множеств") и затем Рассела ("множество всех множеств, не являющихся элементами самого себя" - является ли оно собственным элементом?) Первый кризис - обнаружение иррационального числа sqrt(2) греками, второй - нестрогость понятия бесконечно малого.

Я про то и говорю. Первые два кризиса привели к существенным расширениям математики как науки, в то время, как третий "кризис", конечно, основательно потряс логику и ее окрестности, но особо ни к чему не привел. Интуиционизм, конструктивизм и иже с ними, попроцветав некоторое время, скукожились и занимают сейчас весьма маргинальное положение, навроде гомеопатии.

Кстати, парадокс Рассела о "множестве всех множеств, не являющихся элементами самого себя" и парадокс о брадобрее (принадлежащий тому же Расселу) — это один и тот же парадокс :-) И там и там причиной парадокса является слово "всех", о чем я писал выше.

Я ведь говорю не о части теории множеств, которая относится к множествам конечным. А о цельной формальной теории, которая бы нигде не оперировала с бесконечностями. Конечный алфавит, конечный набор допустимых предложений, исключительно конечные множества (или хотя бы натуральные числа) в аксиоматике. Я такой пока не видел.

Я - тоже.

Но, насколько я понимаю в колбасных обрезках, причина отсутствия подобной теории не в том, что до нее наука еще не дошла/доросла, а в том, что она, эта теория, просто никому не нужна, ибо не приводит к каким-либо интересным и/или нетривиальным результатам. Знаете, типа Неуловимого Джо ...

Если вам абсолютно понятно, "почему" это так, то это чрезвычайно удивительно. Человеческая интуиция совершенно не в состоянии вообразить или хоть как-то представить число, большее, допустим, 10^100000000. И тем более множество таких чисел.

"Человеческая интуиция" много чего вообразить не может. Смотря какой человек и, соответственно, какая интуиция. Вот, например, Василий Иванович, как ни пытался, но так и не смог себе представить квадратный трехчлен ... :-)

Я же создал эту тему, пожалуй, по мотивам утверждения некоего персонажа моих любимых фантастов Стругацких - именно Кристобаля Хозевича Хунты. Примерно так: "Какой смысл решать задачу, если известно, что она уже имеет решение? Куда интереснее решать задачи, не имеющие решения!"

Точна цитата звучит иначе.

     -- Г-голубчики, — сказал Федор Симеонович озадаченно, разобравшись в почерках. — Это же п-проблема Бен Б-бецалеля. К-калиостро же доказал, что она н-не имеет р-решения.
     -- Мы сами знаем, что она не имеет решения, — сказал Хунта, немедленно ощетиниваясь. — Мы хотим знать, как ее решать.

Почти то же самое, но с точностью до наоборот. Ваше воспроизведение по памяти — не более, чем банальность. А вот в словах Кристобаля Хозевича заложен глубочайший смысл. Так мне каатся ...

спустя 15 часов [обр] Даниэль Алиевский(6/125)[досье]

VIG[досье] Чуть позднее отвечу вам обязательно, но на последнюю фразу хочется ответить сразу. Все ж таки я назвал их "любимыми фантастами" (может, и преувеличил немного, но среди русских, пожалуй, это правда).

Специально нашел текст "Понедельника". Вот полная точная цитата:

     -- Г-голубчики, — сказал Федор Симеонович озадаченно, разобравшись
в почерках. — Это же п-проблема Бен Б-бецалеля. К-калиостро же доказал,
что она н-не имеет р-решения.
     -- Мы сами знаем, что она не имеет решения, — сказал Хунта,
немедленно ощетиниваясь. — Мы хотим знать, как ее решать.
     -- К-как-то ты странно рассуждаешь, К-кристо... К-как же искать
решение, к-когда его нет? Б-бессмыслица какая-то...
     -- Извини, Теодор, но это ты очень странно рассуждаешь. Бессмыслица
-- искать решение, если оно и так есть. Речь идет о том, как поступать с
задачей, которая решения не имеет. Это глубоко принципиальный вопрос,
который, как я вижу, тебе, прикладнику, к сожалению, не доступен.
По-видимому, я напрасно начал с тобой беседовать на эту тему.

Я сказал по памяти почти точно то же самое: "Какой смысл решать задачу, если известно, что она уже имеет решение? Куда интереснее решать задачи, не имеющие решения!" Именно что принципиальный вопрос, что делать с такой задачей, и мы хотим знать, как ее решать :)

спустя 1 час 29 минут [обр] VIG(24/839)[досье]

Даниэль Алиевский[досье]

Вы не поняли. Повторяю еще раз и медленно :-)

  1. Нет никакого смысла решать уже решенные задачи.
  2. Можно (интересно) решать задачи, которые никем еще не решены.

Вполне согласен.

Но Кристобаль Хозевич говорил совсем о другом: как решать задачу, про которую доказано, что ее решения не существует ...

спустя 41 минуту [обр] Даниэль Алиевский(6/125)[досье]
VIG[досье] Я что, настолько косноязычен? :) Я говорю о том же, что и Хунта, может быть, не столь четко. Какой смысл решать задачу, если, скорее всего, она имеет решение, пусть даже пока неизвестное? Скажем, писать алгоритм решения заковыристой системы уравнений? Совсем другое дело - решать задачу, которая, скорее всего (а еще лучше - доказано, что) не имеет решения. Например, искать контрпримеры к доказанной теореме Ферма или коммутативности сложения ("доказано, что..."). Мало ли, что доказано... Или пытаться понять, откуда мы знаем, почему 2 яблока + 2 яблока всегда дают 4 яблока, и почему верны (и верны ли) аналогичные утверждения даже применительно к числу частиц во Вселенной (скорее всего, все равно не поймем).
спустя 27 минут [обр] Дмитрий Донцов+++(9/68)[досье]
Даниэль Алиевский[досье]
не подумайте чего...
но я с удовольствием бы ознакомился с обоснованием того, что дважды два
то ли три, то ли пять, но никак не четыре
спустя 54 минуты [обр] VIG(24/839)[досье]

Даниэль Алиевский[досье]

Я что, настолько косноязычен? :)

В данном случае — да. Но потом последовало разъяснение, из которого все стало понятно.

Например, искать контрпримеры к доказанной теореме Ферма или коммутативности сложения ("доказано, что..."). Мало ли, что доказано...

А понятно стало, что Вы слова Кристобаля Хозевича так и не поняли.

Искать контрпримеры к теореме Ферма или коммутативности сложения (или фантазировать на тему подобных поисков) можете хоть до второго пришествия. Как говорится, флаг в руки, попутного ветра и с песней. Но я Вам в этом, без сомнения, увлекательном путешествии не попутчик.

А смысл слов Кристобаля Хозевича гораздо глубже. Гораздо.

спустя 22 часа [обр] Даниэль Алиевский(6/125)[досье]

VIG[досье]

Научный же подход предполагает, что начинать надо с создания определений.

Я не против. Здесь даже высказывались кое-какие идеи (насчет "что такое информация"), за что благодарен участникам. Но как-то не вдохновило пока. Потому я и перешел к вопросам, в которых (вроде бы) все достаточно четко определено. "Достаточно" - т.е. не менее четко, чем, например, мы привыкли в обычной физике. Вопросы - почему мы уверены в непротиворечивости арифметики и почему мы столь смело применяем ее аксиомы к практическим вычислениям, вроде компьютерных. И вот здесь ваше мнение я не очень понимаю. Пока я уяснил лишь, что ответы на них вам кажутся интуитивно очевидными... Но это неконструктивно.

Главным образом, потому, что сфантазировать что-то нетривиальное ничуть не легче, а гораздо сложнее, чем какую крутую теорему доказать.

Конечно :) Никто не заставляет, однако - не хотите, как хотите.

Не помню кого из великих математиков спросили об одном из его учеников. "Ах, этот", - ответил корифей. - "Этот стал поэтом, для математики у него явно не хватало воображения".

Гаусс, конечно - google неплохо компенсирует склероз :)

Интуиционизм, конструктивизм и иже с ними, попроцветав некоторое время, скукожились и занимают сейчас весьма маргинальное положение, навроде гомеопатии.

Увы - но не этим теориям, а математикам. Насколько я знаю, никто пока не открыл ничего такого, что сделало бы менее актуальными поиски альтернативных вариантов математики. Просто надоело, наверно? Но к поискам истины это имеет мало отношения.

Кстати, парадокс Рассела о "множестве всех множеств, не являющихся элементами самого себя" и парадокс о брадобрее (принадлежащий тому же Расселу) — это один и тот же парадокс :-) И там и там причиной парадокса является слово "всех", о чем я писал выше.

Да я не спорю, что один и тот же. Просто применительно к брадобрею сей парадокс ничего не ниспровергнул - трудно удивить кого-либо выводом, что некоего брадобрея нет на свете. А вот применительно к множествам этот парадокс заставил пересмотреть всю тогдашнюю математику, запретив безоговорочно применять понятие "множество всех x, таких, что..." Оба популярных решения - Цермело (не все свойства порождают множества) и NBG (не все классы могут быть элементами других классов) - изяществом и ясностью не отличаются.

Но, насколько я понимаю в колбасных обрезках, причина отсутствия подобной теории не в том, что до нее наука еще не дошла/доросла, а в том, что она, эта теория, просто никому не нужна, ибо не приводит к каким-либо интересным и/или нетривиальным результатам.

А это почему, собственно? Интересно. Нельзя же сказать, что все результаты математики, имеющие практическое применение (в физике или, если угодно, экономике) совершенно тривиальны. Между тем очевидно, что для описания окружающего мира более чем достаточно изучения конечных множеств.

"Человеческая интуиция" много чего вообразить не может. Смотря какой человек и, соответственно, какая интуиция. Вот, например, Василий Иванович, как ни пытался, но так и не смог себе представить квадратный трехчлен ... :-)

Вы, надо полагать, претендуете на интуицию, при которой некоторые факты относительно 10^10000000000 сущностей представляются очевидными? :) А мне кажется, вы в данном случае увлекаетесь. Лично я не претендую на большее, чем большинство людей, для которых легко удержать в голове и одновременно представить порядка 5-7 сущностей, не более.

Искать контрпримеры к теореме Ферма или коммутативности сложения (или фантазировать на тему подобных поисков) можете хоть до второго пришествия. Как говорится, флаг в руки, попутного ветра и с песней. Но я Вам в этом, без сомнения, увлекательном путешествии не попутчик.

Все-то вы утрируете. Если и правда интересно, могу сознаться, к чему я этот вопрос задал. Есть такой давний интерес у меня - попытка создать "минимальную" систему символов, понимание смысла которых достаточно для того, чтобы с помощью этих символов изложить всю математику. Один из вопросов, которые меня интересовали в процессе этих рассмотрений - что обозначают (денотат) математические утверждения. Была гипотеза, что это - содержащаяся в них "информация". Но - не хочу все это обсуждать, до теории и конкретных вопросов там чересчур далеко.

Неужели даже простейший вопрос - "откуда взялись фундаментальные аксиомы математики" (если позволите популистскую формулировку) - не вызывает никаких нетривиальных идей?

А смысл слов Кристобаля Хозевича гораздо глубже. Гораздо.

Не берусь судить о глубине идей Хунты, но вот обсуждаемые вопросы, по-моему, намного глубже, чем кажется с первого взгляда. Уверенность в том, что "ничего такого случиться не может" (вроде контрпримера к коммутативности), должна, IMHO, базироваться на более серьезных основаниях, чем "этого не может быть потому, что не может быть никогда" или "это очевидно".

спустя 20 часов [обр] VIG(24/839)[досье]

Даниэль Алиевский[досье]

Насколько я знаю, никто пока не открыл ничего такого, что сделало бы менее актуальными поиски альтернативных вариантов математики.

Немножко наоборот, ИМХО. Никто из "альтернативщиков" пока не открыл ничего такого, что сделало бы актуальным развитие этих теорий.

Все "альтернативные" теории начинались с одного и того же. Например, есть определенные сложности с понятием бесконечности. Так давайте построим теорию, в которой, скажем, отсутствует понятие актуальной бесконечности. Ну давайте. Строили-строили, наконец, построили — и никаких особых результатов не получили ... так, бедняжка, и померла, оставшись в исторических обзорах и специальных курсах ...

Лично я не претендую на большее, чем большинство людей, для которых легко удержать в голове и одновременно представить порядка 5-7 сущностей, не более.

Все опять же зависит от того, какие это сущности. Ребенок считает "один, два, три, четыре, пять, много". Для человек постарше, знакомого с позиционной системой счисления, запоминание пяти-семизначных чисел не представляет труда. Представить себе числа порядка 10^1000000 и делать о них некоторые выводы может любой человек, знакомый с понятием логарифма. И так далее ...

В общем, все зависит от того, какой системой понятий_/_сущностей вы оперируете.

Уверенность в том, что "ничего такого случиться не может" (вроде контрпримера к коммутативности), должна, IMHO, базироваться на более серьезных основаниях, чем "этого не может быть потому, что не может быть никогда" или "это очевидно".

Уверенность — это свойство не математики, а человека.

Поэтому антитезис: неуверенность в чем-то, типа теоремы Ферма или коммутативности арифметики, должна, ИМХО, базироваться на более серьезных основаниях, чем "мало ли что доказано ...".

Иначе это уже относится не к математике, а к психологии ...

спустя 1 час 39 минут [обр] Даниэль Алиевский(6/125)[досье]
Представить себе числа порядка 10^1000000 и делать о них некоторые выводы может любой человек, знакомый с понятием логарифма.

Так это вы, некоторым образом, логарифмы представляете, а не исходные числа. Исходя из такой интуиции, можно разве что подозревать, что с некоторой точностью коммутативно умножение больших чисел (ибо коммутативно сложение их логарифмов). Подразумевая за скобками, что сами логарифмы и их свойства почему-то самоочевидны.

Ладно, в сущности, мы высказали свои позиции и перешли к рассуждениям о нашей манере рассуждать. Наверно, пора заканчивать разглагольстовать? :)

Powered by POEM™ Engine Copyright © 2002-2005