Xpoint
   [напомнить пароль]

Забавный логический парадокс, но с глубоким философским смыслом

Метки: [без меток]
[удл]
2004-10-18 18:37:31 [обр] VIG(2/839)[досье]

Почему-то вспомнилось, когда прочитал задачку о машине и козах.

Итак, предположим, что нам надо обосновать тезис "все вороны черные". Выбираем добротный экспериментальный подход: ловим ворону, рассматриваем. Если она черная, все хорошо. Если нет, тезис опровергнут, завершаем эксперимент. Наловив N ворон и убедившись, что все они черные, пишем статью об экспериментальном доказательстве тезиса.

Все вроде бы разумно, но некто, весьма сведущий в логике, предлагает такое рассуждение.

Исходное утверждение "все вороны черные" равносильно следующему: для любого объекта А из "А является вороной" следует "А черный". Как известно, утверждение "из X следует Y" эквивалентно "из не-Y следует не-X". Поэтому можно сформулировать и так: для любого объекта А из "А не черный" следует "А не является вороной".

Займемся экспериментальным доказательством последнего тезиса по проверенной методике. Берем произвольный не черный объект, рассматриваем. Если это ворона — тезис опровергнут. Если нет, имеем еще один факт, подтверждаюший тезис.

Вроде бы все логично. Но имеются вопросики:

  1. Как, с точки зрения здравого смысла, наличие "розовой коровы" может служить фактом, подтверждающим утверджение "все вороны черные"?
  1. И того похлеще. Получается, исходя из вышеприведенных соображений, что наличие "розовой коровы" служит фактом, одновременно подтверждающим гипотезы "все вороны черные" и "все вороны белые" !!???

спустя 3 часа 46 минут [обр] Даниэль Алиевский(2/125)[досье]

Эксперимент "ворона черная", с точки зрения логики, никоим образом не служит подтверждением того, что все вороны черные :-) В этом главная ошибка рассуждения. Физики же, рассуждая так, на деле опираются на куда менее очевидные соображения. А именно: если в 1000000 похожих ситуациях A верно, то крайне маловероятно, что это случайно и что в 1000001-й ситуации A окажется ложно. ПОХОЖИХ. А розовая корова непохожа на синий куст.

На тему. Доказательство физика, что все нечетные числа >1 простые. Берем 3. Простое. 5. Снова простое. 7. Опять простое! 9? Ну, это, наверно, исключение. 11 - простое! 13 - простое!! Методом физической индукции заключаем, что все нечетные числа простые.

Еще одна забавная вещь. С точки зрения логики импликация A=>B при ложном A всегда истинна. Например, если у меня в Киеве дядька (нет у меня там его), то в огороде непременно бузина. Абсолютно корректное и логически верное умозаключение.

:-)

спустя 12 часов [обр] Владимир Палант(27/4445)[досье]
Даниэль Алиевский[досье]
Неправильно рассказываете. 9 - не исключение, а погрешность измерения :)
спустя 7 минут [обр] Даниэль Алиевский(2/125)[досье]
Ой, и точно :-)
спустя 6 минут [обр] Даниэль Алиевский(2/125)[досье]

Еще между прочим: согласно логике, например, то, что простых чисел бесконечно много, еще далеко не факт. Это доказывается средствами элементарной арифметике. А она в некотором смысле весьма спорная: ибо ее непротиворечивость невозможно доказать по второй теореме Геделя о неполноте. Вернее, при доказательстве придется использовать не менее спорные теории, чем сама арифметика.

А есть еще интуиционизм, в котором из того, что не все вороны черные, еще вовсе не вытекает существование не черной вороны. Интуиционист потребовал бы - для доказательства существования нечерной вороны - непременно поймать такую ворону.

И т.д. :-)

спустя 2 часа 28 минут [обр] Рубероид(1/21)[досье]
Вообще-то неверно поставленные эксперимент. Сначала нужно вычислить, сколько ворон нужно просмотреть, чтобы на определенном уровне значимости подтвердить статистическую гипотезу, что все вороны черные. И вообще, статистическая гипотеза не может использоваться как 100%-ное доказательство. Статистическая гипотеза работает с предположениями и показывает ВЕРОЯТНОСТЬ правильности тех или иных суждений.
спустя 9 часов [обр] VIG(2/839)[досье]

Даниэль Алиевский[досье]:

Не-а, не так-то все просто.

Предположим, что поймали 1000000 ворон, и оказалось, что все они черные. Является ли сей факт неким подтверждением гипотезы "все вороны черные". С точки зрения здравого смысла — да. Отсюда следует, что каждая очередная ворона, оказавшаяся черной, что-то добавляет к нашей уверенности, что все они такие, т.е. служит примером, подтверждающим выдвинутую гипотезу.

Так что никакой ошибки рассуждения пока нет.

Далее смотри по тексту исходного постинга.

Рубероид[досье]:

Статистика и всякие-разные уровни значимости тут тоже не при чем. Я не возражаю, ставьте эксперимент "правильно", делайте предположения о функциях распределения, вычисляйте размеры выборок, доверительные интервалы и все такое прочее, ради бога.

Самое интересное начинается потом: предположим, что, вооруженные всей необходимой теорией, просмотрели 1 (одну) ворону, и оказалось, что она черная. Повысилась ли от этого вероятность правильности гипотезы "все вороны черные", при ЛЮБЫХ исходных предположениях? Ясно, что повысилась.

Далее смотри по тексту исходного постинга.
 
:-))

спустя 1 час 49 минут [обр] Дмитрий Котеров(11/912)[досье]
Нет никакой вороны и нет никакой черноты.
:-))
спустя 16 часов [обр] Алексей Рюмин aka Dwarf(19/864)[досье]

Из того, что

  1. "А - ворона, следовательно, А - черная"

разумеется, следует, что:

  1. "А - НЕ черная, следовательно, А - НЕ ворона"

Таким образом, наличие "розовой коровы" подтверждает тезис (2), и следовательно, тезис (1).
Поскольку тезис "все вороны - белые" является ложным изначально, то его подверждать наличие коровы любого цвета никак не может :) Из факта наличия "розовой коровы" совершенно не следует тезис:
"А - НЕ белая, следовательно, А - НЕ ворона"

Как-то так :)

спустя 50 минут [обр] Евгений Бондарев aka Eugene Bond(26/1600)[досье]
Вроде как это и есть основные различия дедуктивного и индуктивного методов.. Хотя могу и ошибаться..
спустя 3 часа 34 минуты [обр] VIG(2/839)[досье]

Алексей Рюмин aka Dwarf[досье]

Не-а, не так :-)

Предположим, что имеются два человека. Один из них, обозначим его Ч, утверждает, что "все вороны черные". Другой (Б) с ним спорит и говорит, что "все вороны белые". И оба обращаются к вам, прося рассудить, прав ли кто из них.

Естественно, первая же пойманная ворона опровергнет одну или другую гипотезу, а то и обе, если попадется, скажем, красная ворона.

Но вот незадача, вороны почему-то не попадаются (наверное, не сезон :-). А вместо них вылавливаем разнообразных коров: розовых, зеленых и серо-буро-малиновых в крапинку. И вот, по вышеприведенным рассуждениям получается, что каждая очередная корова одновременно повышает уверенность и Ч, что именно его гипотеза правильна, и Б, что именно его гипотеза правильна, хотя обе гипотезы взаимно исключают друг друга ...

спустя 28 минут [обр] Даниэль Алиевский(2/125)[досье]

Э-э... Уважаемые :-)

Если вы хотите опираться на математическую логику, то, пожалуйста, забудьте об "индуктивном" выводе, что из "A(x) верно для миллиона различных x" следует "для любого x A(x)". Обнаружение 1000001-го x, для которого A(x) верно, вообще говоря, не добавляет и не убавляет уверенности в утверждении "для любого x A(x)". Пример: A(x) есть "x<=1000001", а тестируем мы его на числах от 1 до 1000000. Более "живой" пример: A(x) есть "x четное число и его можно представить в виде суммы двух простых". Знаменитая гипотеза Гольдбаха: никто до сих пор не знает, всегда ли это так.

VIG, вы взяли довольно произвольное предложение (противоположное обратному к "все вороны черные") и пытаетесь применять к нему "физичекую индукцию". С какой стати? Физическая индукция и правда работает, но далеко не для всех предложений. Вероятно, этот принцип ("физической индукции") уже давно формализован, наверно, на языке теории вероятностей, и при желании можно раскопать, как именно он не сработает для "все нечерные не вороны".

Между прочим, "все нечерные" - в отличие, к примеру, от "всех ворон" - это так невероятно много, что они даже не образуют множества. Это собственный класс (в аксиоматике теории множеств фон Неймана) или вообще несуществующий объект (в теории множеств Цермело). Какая тут может быть индукция...

спустя 1 час 39 минут [обр] VIG(2/839)[досье]

Даниэль Алиевский[досье]

Не-а, не убеждает.
 
Все Ваши возражения имеют единственный источник — бесконечность. Только там, в бесконечности, и произрастают Теоремы Геделя, Парадоксы Теории Множеств и прочие подобные овощи.
 
А мы по-простому, по рабоче-крестьянски. Предположим, что имеется конечное (хотя и большое) множество объектов, куда входят и вороны, и коровы, и все остальное, что может попасться на глаза представителям прогрессивного человечества. Все описанное в исходном постинге, тем не менее, остается в силе, а Ваши аргументы рассыпаются ...

спустя 13 часов [обр] Даниэль Алиевский(2/125)[досье]

Все мои аргументы, кроме последнего "между прочим", прекрасно приложимы и к конечным множествам. Например, ко всем натуральным числам меньше 10^20. Насчет гипотезы Гольдбаха не уверен, насколько большое множество 1..N надо взять, но очевидно, что есть такое число N, что "x четное число и его можно представить в виде суммы двух простых" проверено лишь для x<=N/1000000.

Если вы хотите апеллировать к "рассуждениям по индукции", постарайтесь найти ссылку или самостоятельно сформулировать этот самый вывод строго и аккуратно.

На "наивном" уровне совершенно очевидно, что чернота миллиона ворон действительно дает основания считать всех ворон черными. Ибо ворона - не некая произвольная сущность, а биологический организм, построенный по определенным законам, и чернота, если она распространена, должна вытекать из этих законов, а не из того, в какой момент времени мы ловим ворону. Не может так получиться, что сегодня мы выловили миллион ворон и все они черные, а завтра наловим еще миллион и они окажутся белыми.

Но подобное рассуждение "по аналогии" приложимо вовсе не всегда. Не обязательно пускаться в мат. логику :-) Возьмите хотя бы утверждение: человек бессмертен. Вы берете человека Васю Пупкина и проводите миллион экспериментов: раз в 30 секунд проверяете, что он жив. И через год "по индукции" приходите к выводу: Вася Пупкин будет живым всегда. Или: все люди белые. Для этого берете миллион прохожих в моем славном городе Екатеринбурге и не находите ни одного негра. (Ну редко они к нам ездят.)

Кто такие ваши "все нечерные"? Чтобы делать "индуктивные" выводы, ваше множество должно быть репрезентативным, то есть охватывать все относящиеся к ситуации категории предметов. Что есть репрезентативность для всех нечерных предметов в ситуации, когда вопрос стоит о воронах?

спустя 3 часа 56 минут [обр] Дмитрий Котеров(11/912)[досье]
На "наивном" уровне совершенно очевидно, что чернота миллиона ворон действительно дает основания считать всех ворон черными.
Это только в случае, если вороны распределены случайным образом. А если кто-то специально задался целью собрать в одном месте 1 млн черных ворон, то все рассуждения идут боком. Я думаю, это необходимо учитывать.
спустя 30 минут [обр] Даниэль Алиевский(2/125)[досье]
Тем более. Ясно, что в случае "нечерных" ни о какой равномерной случайности перебора ВСЕХ нечерных предметов речи не будет.
спустя 2 часа 18 минут [обр] VIG(2/839)[досье]

Даниэль Алиевский[досье]

Похоже, что мы вообще говорим совсем о разных вещах и на разных языках. Попробую еще раз :-)

Допустим, что я (лично я) утверждаю, что "все вороны черные". Для этого утверждения, а равно и для любого другого у меня есть некоторая степень уверенность в его правильности. Запишу это количественно, присвоив утверждению некоторое число Х от 0 до 1, где Х=0 значит, что я абсолютно уверен, что утверждение ложно, Х=1 — что оно истинно, а 0<X<1, что я допускаю как истинность, так и ложность утверждения, возможно, склоняясь в ту или иную сторону.

Замечу, что не имеет абсолютно никакого значения, каким образом я назначаю число Х.

Теперь проводим эксперимент: ловим ворону и рассматриваем ее. Оказалось, что черная. Еще раз замечу, что меня абсолютно не интересует, каким образом поймали данную конкретную ворону, были ли предприняты меры для их случайного распределения и тому подобное.

Важен факт, что провели эксперимент, и ворона оказалась черной. Что при этом происходит с числом Х, т.е. с моей личной степенью уверенности в том, что "все вороны черные"? Утверждается, что при любых предположениях, включающих мою личную адекватность, число Х должно возрасти. На сколько, не важно. Оно зависит от утверждения, моих личных качеств, моего доверия к разумности/правильности эксперимента и тому подобное.

Но — возрасти, пусть даже на 10^-1000. Другими словами утверждается, что для адекватной личности обнаружение факта, подтверждающего гипотезу, повышает степень уверенности этой личности в правильности гипотезы.

Возьмем гипотезу Гольдбаха, ограничившись, чтобы избежать проблем с бесконечностью, числами меньшими 10^20 (или 10^200). И рассмотрим Вас в качестве адекватной личности ;-)) Повышает ли тот факт, что для некоторого числа К гипотеза верна, Вашу личную уверенность в ее правильности? Я утверждаю, что повышает. Приращение может быть очень малым, более того, убывать для каждого последующего проверенного числа, но оно всегда будет положительным.

А теперь еще раз возвратимся к исходному рассуждению ... получается, что наличие "розовой коровы" должно повышать уверенность любой адекватной личности в том, что все вороны черные ...

спустя 7 часов [обр] Дмитрий Котеров(11/912)[досье]
Утверждается, что при любых предположениях, включающих мою личную адекватность, число Х должно возрасти.
Простите, но это не так. Число X не убывает, но возрастает - совсем не обязательно. Пример я уже приводил: узнав, что будет проведено ровно 1 млн наблюдений, кто-то взял ровно 1 млн черных ворон и подсунул экспериментатору (и экспериментатор об этом знает!). Тогда при переходе от вороны N к вороне N+1 вероятность, очевидно, остается константой.
спустя 9 часов [обр] Дмитрий Юров(14/411)[досье]
"Забавный зоологический парадокс" уж...
спустя 5 часов [обр] VIG(2/839)[досье]

Дмитрий Котеров[досье]

Не-а, не так все просто. Если "экспериментатор об этом знает", значит эксперимент уже проведен. Таким образом, имеем:

  1. Начальная ситуация. Мной высказана гипотеза, что "все вороны черные", но никакими данными о цвете хотя бы одной вороны не располагаю. Моя исходная уверенность в справедливости гипотезы Х1.
  1. Конечная ситуация. Известно, что имеется по крайней мере 1000000 черных ворон, причем совершенно не важно, каким образом, "честно или нечестно", эта информация получена. Моя уверенность в справедливости гипотезы теперь X2.

Утверждается, что для адекватной личности X2 > X1, строго.

спустя 20 минут [обр] VIG(2/839)[досье]

Легко привести и "незоологический" аналог :-)

Гипотеза: "святые люди водку не потребляют", т.е. для любого человека А из утверждения "А святой" следует утверждение "А водку не потребляет". Чтобы это было гипотезой, нужно, чтобы определение понятия "святой" не включало явный или дедуктивно выводимый запрет на потребление оной.

Прямое экспериметнальное подтверждение данной гипотезы затруднительно, ибо попробуй найди святого, особенно среди современников :-) Поэтому, как описано выше, действуем от противного: рассматриваем потребляющих (а таких, в отличие от святых, пруд пруди :-) и для каждого экземпляра удостоверяемся, что оный святым не является, согласно имеющемуся определению.

С каждым новым изученным потребляющим индивидом, наша уверенность в справедливости гипотезы возрастает. Или нет?
 
;-)))

спустя 1 час 40 минут [обр] Дмитрий Котеров(11/912)[досье]
Если "экспериментатор об этом знает", значит эксперимент уже проведен.
Виктор, мне кажется, Вы путаете две вещи: квантор "для любого" матлогики и методы статанализа. Квантору "для любого" глубоко по барабану, кто там и о чем знает или не знает. Утверждение с ним либо истинно, либо ложно - вне зависимости от того, проведен уже эксперимент или только еще планируется. Так уж его определили, и только в таком определении можно пользоваться аппаратом матлогии (для того и определяли, чтоб пользоваться). Перейти от статистической "вероятности" к квантору "для любого" нельзя, как бы ни были шансы близки к 100%. Это все равно, как нельзя непрерывным преобразованием перейти от килограмм к градусам (хотя и кажется логичным, что при фиксированном объеме по мере устремления килограммов к бесконечности градусы тоже растут - звезда получается, или черная дыра).
спустя 4 часа [обр] VIG(2/839)[досье]

Дмитрий Котеров[досье]

Внимательно перечитал все, что успел понаписать в данном треде. Ни единого слова о статанализе или вероятностях. Об этом писали только Вы и некоторые другие товарищи. А оно тут, разрешите доложить, вообще не при чем.
 
Так что я путаю?

спустя 8 минут [обр] Дмитрий Котеров(11/912)[досье]
Предположим, что поймали 1000000 ворон, и оказалось, что все они черные. Является ли сей факт неким подтверждением гипотезы "все вороны черные". С точки зрения здравого смысла — да. Отсюда следует, что каждая очередная ворона, оказавшаяся черной, что-то добавляет к нашей уверенности, что все они такие, т.е. служит примером, подтверждающим выдвинутую гипотезу.

А это что такое, по-вашему, как не статистическое рассуждение?

Я тоже перечитал. Собственно, Даниил выше все сказал, что нужно сказать. Что Вы еще хотите, мне непонятно.

спустя 19 часов [обр] Даниил Иванов(0/63)[досье]
VIG[досье]
Вы мне объясните, каким образом коровы, неважно какого цвета, связаны с воронами? В какой точке множества "коровы" и "вороны" пересекаются, что существование элементов одного из них как-то влияет на наши рассуждения о элементах другого множества? :)
спустя 8 минут [обр] Дмитрий Котеров(11/912)[досье]
Даниил Иванов[досье]
Это-то как раз понятно - перечитайте внимательно все с начала, там объясняется. Другое дело, что ошибка еще раньше идет. Это напоминает следующий "софизм" (см. рис.).
спустя 1 час 5 минут [обр] Даниил Иванов(0/63)[досье]

Дмитрий Котеров[досье]
Прочитал. Так и не понял, какая связь между

для любого объекта А из "А не черный" следует "А не является вороной".

и

Получается,исходя из вышеприведенных соображений, что наличие "розовой коровы" служит фактом, одновременно подтверждающим гипотезы "все вороны черные" и "все вороны белые"!!???

Сам VIG предлагал "по простому, по рабоче-крестьянски". Так вот я, исходя из простой рабоче-крестьянской логики, связи между этими двумя утверждениями не вижу. :)

спустя 4 часа 29 минут [обр] VIG(2/839)[досье]

Дмитрий Котеров[досье]

Да я, собственно говоря, уже ничего не хочу.

То, что я пытался изложить, в науке называется парадоксом Гемпеля, и единого мнения по этому поводу пока почему-то не выработалось, хотя, по Вашему мнению, мне уже все сказали, что нужно сказать ... увы мне, видимо не сумел достаточно доступно изложить :-(

Совсем популярно см., например сюда, а что-либо более строгое можно поискать в гугле, если такое желание возникнет ...
 

спустя 2 часа 6 минут [обр] Дмитрий Котеров(11/912)[досье]

Ну правильно, очень хорошая ссылка. Грешит она только одним: там не формализуется, что означает фраза "подтверждать гипотезу". Если же формализовать...

Поступим очень просто - станем на время богом.

Представьте, что мы создали N Вселенных. В первой Вселенной ученые, которые там жили, обнаружили 1 нечерный объект. Во второй Вселенной обнаружили 2 нечерных объекта. И т.д. - в N-й Вселенной ее жители обнаружили N нечерных объектов. Теперь повторим этот опыт M раз, т.е. создадим M раз совокупность из N Вселенных (можно создать и не по N, а большее число, но только потом выбрать из них N штук, занумеровав по числу обнаруженных нечерных объектов).

И после этого подсчитаем частоту, с которой гипотеза "все вороны - черные" действительно оказывается верной при различных N.

/N=1N=2...N=100000000
M=1+-...+
M=2-+...+
M=3-+...+
...............
M=100000000++...+
частота10%20%...90%

Вот это, кажется, называется статистический эксперимент. Если обнаружится, что с ростом N растет и частота правильности гипотезы (как на рисунке), тогда и правда можно будет говорить в пользу исходного утверждения про розовую корову. Если же нет - то нет.

Кстати, уже на данном этапе можно сказать, что частота эта не сходится однозначно при устремлении M и N к бесконечности. Действительно, ничего не стоит выбирать в каждой серии экспериментов Вселенные такие, чтобы в них и правда все вороны были черными (условия задачи не накладывают каких-либо ограничений на "равномерность" данных). Получим частоту 100% для любого N. В то же время, в другой раз можно выбирать в сериях Вселенные, где вороны не все черные, получим частоту 0%. Т.е. нужно еще ввести "равномерность" выборки - как раз то, о чем я выше говорил.

Да, и последнее замечание. Есть мнение, что, если число Вселенных бесконечно, то рано или поздно в одной из них может произойти совершенно произвольное событие (например, образуются эльфы с волшебной палочкой) - да к тому же еще и бесконечное число раз! Я вот тут подумал, что это не совсем верно. Действительно, можно представить себе последовательность из бесконечного числа Вселенных, на каждый элемент которой наложено определенное условие (например, запрещено создание исключительно белых объектов). И не факт, что цвет вороны не является как раз одним из таких условий (белой вороне сложнее эволюционировать).

P.S.
Число предметов в конечной Вселенной конечно. Поэтому можно придумать какую-нибудь простую аналогию с двоичным разделением на "черный/нечерный" (без серого).

спустя 1 день 17 часов [обр] Даниэль Алиевский(2/125)[досье]

VIG[досье]
На эту тему... хотя, может быть, это и отдельная тема - пока не очевидно.

Очевидно, уважаемый VIG, сей парадокс касается не логики, а чего-то другого. В чистой логике этого парадокса нет. Ведь вы говорите о "степени уверенности". А что такое уверенность и как она соотносится с математическим доказательством? В крайней форме: разве мы можем быть уверены, например, что вся наша замечательная, строго построенная арифметика верна? Особенно в свете второй теоремы Геделя?

Мне кажется, в обсуждаемом парадоксе речь идет о знании (информации?) Т.е. о том, что должны выражать (обозначать?) утверждения. Вы (точнее Гемпель) говорите, что факт существования розовой коровы немножко добавляет нам знания о цвете всех ворон, причем остается загадкой, почему одновременно увеличивается и знание того, что все они черные, и того, что все они белые. Действительно, неочевидно.

У меня тоже имеется вопрос на эту тему, причем уже не на уровне кванторов, а на куда более простом уровне пропозиционального исчисления (исчисления высказываний). Мой вопрос, между прочим, не провокация, я ни у кого его не подсмотрел :-) Может быть, попробуем что-нибудь сказать сначала о нем?

Вопрос такой. Предположим, каждому утверждению (естественного или формально-математического языка) соответствует некоторое знание. Грубо говоря, записывая это утверждение, я пытаюсь сообщить читателю некоторую информацию. Например, "моя домашняя ворона - черная". Или "меня зовут так-то". Обозначим inf(X) знание, соответствующее утверждению X.

А теперь возьмем банальные пропозициональные связки: A&B, AvB (v - это "или", | все же штрих Шеффера, а не дизъюнкция, да простят меня программисты). А также ~A (не A), A=>B (импликация) и пр.

Чему равно inf(A&B)? inf(~A)? и пр.? Более конкретно, содержится ли в inf(A&B) информация inf(A)? Знаю ли я, что в огороде бузина, если я знаю, что в огороде бузина и в Киеве дядька?

Или, если угодно, знаем ли мы B, если мы знаем A и A=>B? (Знаменитое правило вывода modus ponens.)

Очень хочется предположить, что да. Тогда получается стройная система, где inf(X) - нечто вроде множества, а алгебра логики изоморфна обычной алгебре множеств, с той необычностью, что & соотвествует не пересечению, а объединению информаций. Так, inf(~X) будет дополнением inf(X), inf(A&~A) будет универсальным множеством "всех знаний" I (из противоречия следует все что угодно), inf(Av~A) будет пустым множеством (сказав тавтологию, мы ничего не сказали). inf(A=>B) будет пересечением дополнения к inf(A) и inf(B); если inf(B) уже содержится в inf(A), получится, как и следовало ожидать, тавтология (пустое множество знаний).

Только в итоге получается бред. А именно: математики, за всю историю математики, не узнали ничего нового, ибо все знания содержались уже в аксиомах. Ибо всякая теорема в конечном счете следует из аксиом после конечного числа переходов типа modus ponens. По крайней мере это так, если ограничиться финитной математикой, не имеющей никогда дела с бесконечностями, которую (если не ошибаюсь) можно полностью построить без кванторов, в рамках исчисления высказываний. А если даже говорить о теориях первого порядка, то ведь и там пропозициональных правил вывода (типа modus ponens) никто не отменял. Кант с таким выводом ни за что бы ни согласился. Равно как и любой практикующий математик, ценой громадного труда выясняющий новые факты (теоремы) об изучаемых формальных объектах.

А если так, то чем отличается знание inf(A&B) от объединения знаний inf(A) и inf(B)? Насколько первое меньше? А может быть, можно привести аналогичные доводы в пользу того, что оно больше, и тем самым получить парадокс?

(В вашем рассуждении о розовых коровах мы, по сути, имели дело с очень обширной конъюнкцией утверждений, которой в конечном случае соответствует квантор "для любого".)

спустя 5 часов [обр] Дмитрий Котеров(11/912)[досье]
А именно: математики, за всю историю математики, не узнали ничего нового, ибо все знания содержались уже в аксиомах. Ибо всякая теорема в конечном счете следует из аксиом после конечного числа переходов типа modus ponens.
Так и есть. Только тут, как и в квантовых компьютерах, одна проблема: надо раскопать жемчужену в куче дерьма, т.е. из всех возможных выводов выделить те, которые могут оказаться полезными (и интересными) на практике. Этим математика, насколько я понимаю, и занимается.
спустя 16 часов [обр] VIG(2/839)[досье]

Дмитрий Котеров[досье]

По поводу Вашего предпоследнего письма, с табличкой.

Вы опять про статистику и вероятности. А я опять говорю, что статистика тут не при чем! Попробую еще раз.

Рассмотрим простой пример. Пусть у нас имеется колода из 1000 карт. Некоторые карты могут встречаться в колоде много раз, а некоторые — ни разу.

Мной выдвинута гипотеза: все тузы в этой колоде пиковые. Этой гипотезе я сопоставил некоторое число X, 0<X<1, которая отражает степень моей личной уверенности в правильности гипотезы. Из каких соображений я выбрал X - не имеет значения. Может быть, я знаю метод составления этой колоды, и Х получено в результате длительных статистических расчетов. А может быть, мне приснился сон, и я в него верю, хотя не вполне уверен, что правильно его понял/истолковал.

Теперь проводим эксперимент:

  1. Открываем одну карту колоды. Если это не туз, пропускаем и открываем следующую.
  2. Если это туз, смотрим масть. Если туз не пиковый, гипотеза опровергнута.
  3. Если туз пиковый, имеем факт, подтверждающий гипотезу.

Мое утверждение состоит в том, что в случае 3 число X должно увеличиться, если я - адекватная личность.

Теперь высказываем ту же гипотезу в обратной форме. Все непиковые карты в этой колоде — не тузы. Проводим эксперимент:

  1. Открываем одну карту колоды. Если эта карта пиковой масти, пропускаем и открываем следующую.
  2. Если это не пика, смотрим значение. Если это туз, гипотеза опровергнута.
  3. Если это не туз, имеем факт, подтверждающий гипотезу.

Теперь получаются те же два парадоксальных вывода:

  1. Открытая бубновая двойка повышает степень моей уверенности в том, что все тузы в колоде пиковые.
  2. Если я высказал две гипотезы "все тузы пиковые" и "все тузы червовые", то открытие бубновой двойки повышает степень моей уверенности в правильности каждой из них, хотя они друг друга исключают.

Осталось как-то определить [интуитивно ясное] понятие "адекватная личность". Здесь может пригодиться весьма дельное замечание Даниила об информации. Только я опять предпочел бы не говорить об информации, поскольку этой термин имеет общепринятое определение, и мы опять скатимся в статистику и вероятности, а ввести "девственный" термин, скажем, "степень уверенности".

Не вдаваясь в подробности и формализмы, можно считать, что личность является адекватной, если ее "метрика" на множестве высказываний удовлетворяет нескольким очевидным аксиомам (см. письмо Даниила) плюс еще одно, так сказать, предположение об "однородности": если степень уверенности в правильности гипотезы повышается при наличии двух подтверждающих ее фактов, то она повышается и при наличии одного (любого) из них ...

спустя 21 минуту [обр] VIG(2/839)[досье]

Даниэль Алиевский[досье]

Согласен с Дмитрием, и тоже не вижу особого парадокса или бреда. Что с того, что в воде океанов растворено где-то 5 миллионов тонн золота? Вот выделить бы его в "компактном" виде ...

Кроме того, задача математики состоит не только в решении проблем, но, что с моей точки зрения гораздо более важно, в их постановке (правильно заданный вопрос содержит больше половины ответа). А это означает выбор той или иной системы аксиом, что не может быть сделано "изнутри" и обязательно требует привлечения внематематических соображений ...

Ваши пропозиции напомнили мне другой известный парадокс, об "отсутствии свободы воли".

Рассмотрим четырехмерные (пространство-время) траектории всех частиц Вселенной от минус до плюс бесконечности по времени. Это не детерминизм Лапласа, и мы ничего не говорим о возможности рассчитать будущее, исходя из заданного начального состояния. Тем не менее, такие траектории существуют. Но это означает, что все предопределено и неизбежно, а свобода воли — не что иное как наша иллюзия, проистекающая из ограниченности человеческого разума ...

спустя 10 часов [обр] Дмитрий Котеров(11/912)[досье]
Открытая бубновая двойка повышает степень моей уверенности в том, что все тузы в колоде пиковые.
А я говорю, что это неверно. По крайней мере, в задаче недостаточно данных, чтобы судить об этом однозначно. Например, если в колоде вообще нет никаких тузов, то "вероятность" того, что там все тузы пиковые, не повышается. К тому же, если там всего один туз, то вероятность того, что он пиковый, также не повышается (по совершенно очевидным причинам).
спустя 5 часов [обр] Алексей Рюмин aka Dwarf(19/864)[досье]

VIG[досье] Так мы про логику, или про что? :)
Личность, у которой факт вытаскивания бубновой двойки повышает уверенность в том, что все тузы пиковые, все тузы червовые, все вороны черные а крокозяблики серо-буро-малиновые, причем в крапинку, трудно назвать адекватной :)

Адекватная личность гипотезу сформулирует так, например:
"Все тузы в этой колоде пиковые ИЛИ червовые"
обратное утверждение будет таким:
"Все НЕ (пиковые ИЛИ червовые) карты в этой колоде - НЕ тузы"

Парадокса не вижу.

спустя 6 часов [обр] Даниэль Алиевский(2/125)[досье]

Дмитрий Котеров[досье]

Так и есть. Только тут, как и в квантовых компьютерах, одна проблема: надо раскопать жемчужену в куче дерьма, т.е. из всех возможных выводов выделить те, которые могут оказаться полезными (и интересными) на практике. Этим математика, насколько я понимаю, и занимается.

По любому выходит, что мы не вполне понимаем, что есть знание. Разве что-то меняется от того, что доказательство теоремы мы не "создаем", а "разыскиваем"? Если я не знал, как она доказывается, а ты мне это сказал, то я безусловно что-то узнал. Более того, знания, добытые математиками, столь успешно и многократно были применены на практике (в науке и технологиях), что очень странно было бы заявлять, что никаких знаний тут нет. :-)

VIG[досье] Ваши рассуждения (собственно, как я понял, не ваши, а Гемпеля) действительно смотрятся парадоксально. Опять же: что такое ваша уверенность в некоем предложении? (В сущности, это частный случай моего "знания".)

Тем не менее, есть у вас одна неувязка. С какой стати следует постулировать, что новое наблюдение черного чего-то-там увеличивает, а не уменьшает уверенность в том, что какие-то-там-они все черные? Это ведь не всегда так. Например, если коммунисты очень долго подтасовывали факты, чтобы убедить нас, что капиталисты бяки, то это лишь вначале повышало уверенность в данном предположении. Начиная с некоторого момента, люди здравомыслящие начинали понимать, что им суют лажу, и последующие факты (именно факты, но подтасованные) уже не увеличивали, а скорее уменьшали уверенность.

Или проще. Если игральная кость все время выпадает шестеркой вверх, можно укрепиться в предположении, что это закон такой физический в мире проявился: игральные кости всегда выпадают шестерками вверх. Но ведь можно и наоборот: раза с 5-го или 6-го предположить, что с костью что-то не то, и тогда последующие выпадения шестерки будут свидетельствовать уже в пользу именно этого - и уменьшать уверенность в первоначальном предположении.

Согласен с Дмитрием, и тоже не вижу особого парадокса или бреда.

До парадокса я пока не докопал, а бред получается, лишь если предположить, что в знании A&B содержится знание A. Довольно очевидно, что это не так. Чтобы узнать A, располагая A&B, надо как минимум еще знать, что такое & и что умозаключение A&B -> A правомочно. Совсем как в истории про а и бэ, которые сидели на трубэ, только чуть-чуть наоборот.

Однако, вопрос остается открытым. Каково соотношение между inf(A), inf(B) и inf(A&B)? А между inf(A) и inf(~A)? Очень бы хотелось понять - не могу без этого построить одну интересную конструкцию...

Кроме того, задача математики состоит не только в решении проблем, но, что с моей точки зрения гораздо более важно, в их постановке (правильно заданный вопрос содержит больше половины ответа). А это означает выбор той или иной системы аксиом, что не может быть сделано "изнутри" и обязательно требует привлечения внематематических соображений ...

Э... несколько туманно выражаетесь :-( Главное, я так и не понял, какие такие внематематические соображения используются при выборе аксиоматики Пеано или теории множеств Цермело. А исходя из чего "внематематического" следует делать выбор между стандартной математикой и интуиционистской? Или - совсем уж злободневно - допускать или отвергать общую аксиому выбора?

Вот насчет свободы воли - этот парадокс меня волнует куда меньше. Ибо мне нетрудно представить себе столь изощренную и умную компьютерную игру, персонажи которой - искусственный разум - тоже станут задавать себе подобные вопросы, несмотря на полную свою предсказуемость. Ну и что? Если я сам - персонаж такой игры, то все, что получается - что с моей точки зрения свобода воли у меня есть, а с точки зрения стороннего наблюдателя ее нет. Почему это нужно считать более удивительным, чем, скажем, теория относительности?

Еще раз Дмитрий Котеров[досье]

А я говорю, что это неверно. По крайней мере, в задаче недостаточно данных, чтобы судить об этом однозначно. Например, если в колоде вообще нет никаких тузов, то "вероятность" того, что там все тузы пиковые, не повышается. К тому же, если там всего один туз, то вероятность того, что он пиковый, также не повышается (по совершенно очевидным причинам).

Очень ли разумно спорить с осмысленностью парадокса, как выяснилось, общеизвестного и до сих пор не решенного современными логиками? :-)
Ясно, что "уверенность" - это никакая не "вероятность". Вероятность - строго формальное математическое понятие, так же как и кванторы, парадоксов (известных) там нет. А вот что все это значит для нашего разума - вопрос как был неясен во времена Канта, так и остался.

Алексей Рюмин aka Dwarf[досье]
Явно мы обсуждаем не логику.

Виктор привел вполне адекватные аргументы, что личность, которую можно убедить в черноте или белизне ворон с помощью розовых коров, ничем принципиальным не отличается от личности, которая ставит любой эксперимент "на повторение ситуации" и постоянно наблюдает один и тот же результат. Будь то вороны, будь то частота хождения трамваев, стабильность рубля или шансы найти на улице клад и заработать миллион. Лично я склоняюсь к предположению, что все мы суть неадекватные личности :-)

Каждый эксперимент по вытягиванию бубнового валета одинаково подверждает и то, что все непиковые карты - не тузы, и то, что все нечервовые карты - не тузы. Но "перевернутые" утверждения, эквивалентные этим двум, взаимно противоречивы. Для наглядности, представьте себе колоду из миллиона карт, в которой 99% всех карт - бубновые и трефовые нетузы, 0.99% бубновых и трефовых тузов, и лишь 0.01% (или вовсе нет) пиковых и червовых тузов. Мы почти все время будем вытягивать то валета, то девятку, то еще что-то, кроме тузов. Почти все время, до первого туза, мы будем убеждаться, что непиковые (и нечервовые!) карты - не тузы.

спустя 4 часа 30 минут [обр] VIG(2/839)[досье]

Даниэль Алиевский[досье]

С какой стати следует постулировать, что новое наблюдение черного чего-то-там увеличивает, а не уменьшает уверенность в том, что какие-то-там-они все черные?

Мысль, конечно, интересная, хотя и не совсем новая :-)

Насколько я помню, первый документированный ее аналог принадлежит Тертуллиану (II век н.э.): "Верую, ибо абсурдно". Но, согласитесь, это переводит разговор совсем в другую плоскость ...

Однако, вопрос остается открытым. Каково соотношение между inf(A), inf(B) и inf(A&B)? А между inf(A) и inf(~A)? Очень бы хотелось понять - не могу без этого построить одну интересную конструкцию ...

Я тоже самую малость покумекал ... увы, интуитивно-то оно все ясно, но интуицию к делу не пришьешь :-( Пока же имеются в наличии по меньшей мере две ма-а-аленькие проблемки-с:

  1. Дать некое формальное определение этой самой функции inf(). Тип аргумента ясен - высказывание. Правда, неясно, какое высказывание, так что множество допустимых значений аргумента тоже надо определить. А вот тип результата мне по размышлении стал совсем непонятен ...

  1. Разобраться с вопросом объективности/субъективности знания (я говорю не о философском обосновании, а об определении). Иначе, как Вы правильно заметили, невозможно доказать, что в знании A&B содержится знание А, поскольку для такого вывода субъект должен располагать отдельным знанием логики.
Главное, я так и не понял, какие такие внематематические соображения используются при выборе аксиоматики Пеано или теории множеств Цермело. А исходя из чего "внематематического" следует делать выбор между стандартной математикой и интуиционистской? Или - совсем уж злободневно - допускать или отвергать общую аксиому выбора?

Насколько я могу судить, существуют три логические возможности:

  1. Две системы аксиом для одного и того же множества объектов выводимы друг из друга, т.е. эквивалентны.

 
В этом случае выбор одной из них, по большому счету, определяется личными (внематематическими) обстоятельствами: вкусом, привычками, пристрастиями и т.п.

  1. Две системы аксиом для одного и того же множества объектов невыводимы друг из друга, противоречат друг другу, или одна содержит другую, но не совпадает с ней.

 
В этом случае выбор одной из них определяется (внематематической) верой. Или практическими (внематематическими) соображениями, типа какая из теорий лучше работает для данного класса приложений.

  1. Я же говорил о третьей возможности: выборе самого множества исследуемых объектов!

 
Самый лучший пример, который в этой связи приходит на ум — это обыкновенный матанализ.

Мои родители изучали матанализ по трехтомнику Фихтенгольца (каждый том страниц по 700). Мне повезло больше: у нас самым популярным учебником была книга Уолтера Рудина, страниц на 350, где излагалось все то же самое и даже больше ...

Но, несмотря на явный прогресс в изложении материала, и там и там объектом исследования было одно и то же множество R действительных чисел. Но как-то, лет 25 назад, мне случайно попалась на глаза книжонка в мягком переплете, страниц на 70, под названием типа "Введение в нестандартный анализ" — и я был просто очарован элегантностью теории.

Вот суть подхода, придуманного Робинсоном в начале 60-тых годов прошлого века. Объектом исследования является множество {R,d} пополненное относительно арифметических операций и отношения порядка, где d — так называемое "бесконечно малое" число. В классическом анализе такого понятия нет вообще, и там это не более, чем фигура речи, обозначающая последовательность стремящуюся к 0. В анализе Робинсона такой объект вводится явно, и он удовлетворяет аксиоме: для любых действительных чисел x,y,z таких что x<y и z>0 имеем x+z*d<y.

Самое удивительное заключается в том, что после нескольких страниц определений и тривиальных леммок/теоремок оказывается, что больше и делать особо нечего, поскольку доказательства большинства классических теорем матанализа с громкими именами сводятся к одному-единственному слову "очевидно". Тем не менее, спустя почти полвека несчастные студенты продолжают каждый год камлать "для любого эпсилон больше 0 существует такое дельта больше 0, что ... ", а нестандартный анализ (на редкость неудачное название, однако) продолжает оставаться то ли курьезом, то ли предметом спецкурсов ...

Лично я склоняюсь к предположению, что все мы суть неадекватные личности :-)

Браво! Совершенно блестящая мысль, и смайлик тут вовсе не нужен.

Этот вариант я как-то упустил, наверное по причине повышенного самомнения :-) А похоже на то, что тут-то собака и зарыта: именно это и является решением парадокса. Другими словами, имеются хорошие аргументы в пользу того, что любое формальное определение понятия "адекватная личность" будет неполным и/или противоречивым ...

спустя 3 минуты [обр] Алексей Рюмин aka Dwarf(19/864)[досье]

Даниэль Алиевский[досье] Еще раз. Вдумайтесь в свое последнее утверждение. Это один тезис. Из которого непонятно каким образом следуют два противоречащих друг другу тезиса. Хотя следовать должен только один: что все тузы в колоде пиковые или червовые. Иначе вытаскивание бубновой восьмерки будет также служить подверждением факта серо-буро-малиновости в крапинку крокозябликов. А чего? бубновая восьмерка не серо-буро-малиновая и она не крокозяблик :)
Т.е. из:
(1) если А - ворона, то А черная
следует
(2) если А НЕ черная, то А - не ворона
а из:
(3) если А - ворона, то А - белая
следует
(4) если А НЕ белая, то А - не ворона
то (3) из (2) последовать ну никак не может :)
Если мы сравниваем сразу по двум признакам (не черная и не белая), то и в тезисе их надо объединить:
(5) если А НЕ (черная или белая), то А - не ворона
из чего следует:
(6) если А - ворона, то А - черная ИЛИ белая.
И только таким образом.

ОФФ. Ничего себе досуг :)

спустя 11 часов [обр] Даниэль Алиевский(2/125)[досье]

VIG[досье]

Но, согласитесь, это переводит разговор совсем в другую плоскость ...

А в какой он был плоскости, собственно? ;-) По-моему, как раз в той самой, общефилософской.

Я тоже самую малость покумекал ... увы, интуитивно-то оно все ясно, но интуицию к делу не пришьешь :-( Пока же имеются в наличии по меньшей мере две ма-а-аленькие проблемки-с:
  1. Дать некое формальное определение этой самой функции inf(). Тип аргумента ясен - высказывание. Правда, неясно, какое высказывание, так что множество допустимых значений аргумента тоже надо определить. А вот тип результата мне по размышлении стал совсем непонятен ...

Так вот этот тип результата и есть самое интересное, что вызывает у меня недоумение и что, как мне кажется, при нечетком истолковании порождает парадоксы типа Гемпелевского. А чтобы получше его понять, я пытаюсь изучать его свойства (классика?) Так, хочется предположить, что оно (знание, или "информация" - но не в теоретико-информационном, а в интуитивном смысле) обладает некоторыми свойствами классов, более того, счетных или даже конечных множеств. (Мне неинтересны знания, которые в принципе не влезут в мою голову, а она, есть такое предположение, объект конечный. А может и нет - я бессмертная бесконечная душа; а вдруг удастся это выяснить таким путем?) По крайней мере, на классе всех знаний вроде бы определены отношение частичного порядка "является частью", операции объединения-пересечения со всеми их законами, "пустое" знание ("я ничего не знаю"). Дополнение уже вызывает вопросы, но разность вроде бы должна быть.

Я бы хотел мысленными экспериментами (спрашивая себя, что я знаю) выяснить, чему соответствуют обычные логические манипуляции на множестве знаний. Первая попытка, о которой я рассказал выше, оказалась неадекватной: получилось, что вся математика уже известна заранее. Стало быть, неверно выбрано соответствие.

Может, уже слышали о подобных попытках? Большинство логиков обычно сходятся в том, что каждое высказывание обозначает одну из 2 констант true и false (которое есть его денотат). Это нам ничего не дает. У Черча я видел, что символ, в частности высказывание, имеет, кроме денотата, еще и "смысл" ("концепт" денотата); но никакой строгой теории этих "смыслов" я не встречал. Я лично склонен считать денотатом высказывания именно знание, т.е. "смысл".

  1. Разобраться с вопросом объективности/субъективности знания (я говорю не о философском обосновании, а об определении). Иначе, как Вы правильно заметили, невозможно доказать, что в знании A&B содержится знание А, поскольку для такого вывода субъект должен располагать отдельным знанием логики.

А что тут разбираться? Берем субъекта-человека (меня) и представляем себе, что он пока что знает крайне мало: ровно столько, чтобы понимать вас. И смотрим, что происходит с его знаниями, когда ему сообщают то-то или то-то. Полагаете, что свойства функции inf окажутся сильно зависящими от субъекта? Я бы скорее предположил, что может оказаться зависимость от того, каков тип субъекта - человек, собака, компьютер или марсианин. Но мы, увы, не можем себе толком даже представить иной разум.

  1. Две системы аксиом для одного и того же множества объектов выводимы друг из друга, т.е. эквивалентны.

 
В этом случае выбор одной из них, по большому счету, определяется личными (внематематическими) обстоятельствами: вкусом, привычками, пристрастиями и т.п.

  1. Две системы аксиом для одного и того же множества объектов невыводимы друг из друга, противоречат друг другу, или одна содержит другую, но не совпадает с ней.

В этом случае выбор одной из них определяется (внематематической) верой. Или практическими (внематематическими) соображениями, типа какая из теорий лучше работает для данного класса приложений.

Тут что-то не то. Чтобы появилось множество (если не говорить о множестве зайцев или других конечных множествах предметов реального мира), нужна сначала некая теория, которая введет такое понятие. А для теории нужны аксиомы.

Другое дело, что если мы уже располагаем подобной теорией (обычной математикой), мы вправе изучать формальные теории и спрашивать, какое множество может служить моделью той или иной формальной теории. Да, есть разные, эквивалентные и неэквивалентные формализации арифметики, говорящие все о тех же натуральных числах, более того, первая теорема Геделя гарантирует их бесконечное разнообразие.

Но чтобы появилась математика, методами которой можно изучать формальные теории, ее надо для начала построить. С самого начала - логики, теории множеств, арифметики. Здесь нам придется вводить аксиомы "из интуиции". Что это за интуиция такая, откуда берутся соответствующие знания - покамест загадка.

Книжка "Нестандартный анализ" у меня имеется, в детстве тоже зачитывался :-) Если честно, мне оно действительно кажется неким курьезом. Ну попроще теоремы доказываются, так матанализ вообще несложная вещь. Почти не помню там нетривиальных теорем, только привыкнуть надо. (Если не считать таковыми значения затейливых интегралов или рядов.) К примеру, доказать приводимость матрицы к нормальной Жордановой форме куда труднее, чем теорему Кантора о выделении конечного множества сегментов из любого множества, покрывающего данный сегмент.

Стоит ли ради небольшого упрощения теорем и заботы о слабых мозгах студентов вводить новые сущности? Насколько изучены эти сущности? Даже в обычном континууме R аксиома выбора такие фортели выкидывает, что ее уже стали явно поминать в учебниках анализа. А что будет с этими "бесконечно малыми числами"? Подзабыл уже книжку, но, кажется, там выплывают трансфинитные ординалы... Как-то в детстве листал книжки по теории множеств, так до сих пор дрожь пробирает от тамошних "сильно недостижимых" ординалов. Не привнесет ли нестандартный анализ эту жуть в обычные теории про действительные числа?

Кстати, не надо хаять Фихтенгольца :-) Был, есть и будет лучшим учебником по матанализу! :-) У нас, к счастью, он был штатным учебником. Такую обстоятельность я разве что у Кнута видел. Более современные добавляют к Фихтенгольцу разве что разговоры об аксиоме выбора.

Алексей Рюмин aka Dwarf[досье]

Еще раз. Вдумайтесь в свое последнее утверждение. Это один тезис. Из которого непонятно каким образом следуют два противоречащих друг другу тезиса. Хотя следовать должен только один: что все тузы в колоде пиковые или червовые. Иначе вытаскивание бубновой восьмерки будет также служить подверждением факта серо-буро-малиновости в крапинку крокозябликов. А чего? бубновая восьмерка не серо-буро-малиновая и она не крокозяблик :)
Т.е. из:
(1) если А - ворона, то А черная
следует
(2) если А НЕ черная, то А - не ворона
а из:
(3) если А - ворона, то А - белая
следует
(4) если А НЕ белая, то А - не ворона
то (3) из (2) последовать ну никак не может :)
Если мы сравниваем сразу по двум признакам (не черная и не белая), то и в тезисе их надо объединить:
(5) если А НЕ (черная или белая), то А - не ворона
из чего следует:
(6) если А - ворона, то А - черная ИЛИ белая.
И только таким образом.

Вы все пытаетесь свести на логику, а с логической точки зрения парадокса нет - я говорил об этом с самого начала.

Однако, теперь кажется, тут действительно что-то не то. Вот четкое изложение приведенных соображений.

Изначально постулируется, что каждому предикату C(x) можно приписать некоторую функцию r(C) от 0 до 1: "уверенность", что для любого x C(x). Функция сугубо субъективная, она зависит от того, что субъект знает о C. Скажем, для меня r("если x - натуральное число, то существует простое число p>x") тождественно равно 1, а для школьника, впервые узнавшего о понятии простых чисел, это функция, медленно убывающая с ростом x.

Далее, постулируется, что если субъект узнаёт, что для конкретнго нового x верно C(x), то r(C) увеличивается. Этот способ рассуждений постоянно используется в физике и в повседневной жизни. Так что звучит правдоподобно.

Теперь берем предикаты:
C(x) "x ворона => x черная"
C'(x) "x не черный => x не ворона"
D(x) "x ворона => x белая"
D'(x) "x не белая => x не ворона"
C <=> C', D <=> D' при всех x, но D <=> ~C для каждой вороны x.

Предположим, я - субъект - ничего пока не знаю об истинности этих предикатов для разных x. Возьмем x0 - не ворону, не черное и не белое (розовая корова). Легко заметить, что применение всех 4 предикатов к x0 дает истинные высказывания. (Либо ложна посылка, либо истинны и посылка, и заключение.) Следуя нашему постулату, мы должны признать, что наблюдение x0 увеличивает r(C), r(D), r(C') и r(D').

А теперь,
VIG[досье] внимание! Зачем вообще понадобились C' и D'? Ведь C(x0) и D(x0) УЖЕ верны. Почему без инверсии импликаций вам не кажется, что наблюдение розовой коровы как-то влияет на уверенность в цвете ворон? Ведь для розовой коровы импликация "x ворона => x черная" безусловно истинна! Гемпель, похоже, просто замаскировал это обстоятальство переходом к инвертированной импликации.

Пожалуйста, попробуйте сформулировать парадокс заново, уже в этих - аккуратных - обозначениях.

спустя 56 минут [обр] Алексей Рюмин aka Dwarf(19/864)[досье]
Даниэль Алиевский[досье]
что наблюдение x0 увеличивает r(C), r(D), r(C') и r(D').
спустя 23 минуты [обр] Алексей Рюмин aka Dwarf(19/864)[досье]
Прошу прощения, кнопкой ошибся :)
Да, если с логической точки зрения парадокса нет, то ваше замечание по поводу "C(x0) и D(x0) УЖЕ верны" представляется интересным...
спустя 3 часа 36 минут [обр] Алексей Рюмин aka Dwarf(19/864)[досье]

Даниэль Алиевский[досье] Вот такое соображение есть.
Наша изначальная "уверенность" r(C(x0)) в вашем примере - 0. Родившись, мы ничего не знаем про цвет ворон. Так нам жить скучно, и мы решаем это выяснить. Для этого принимаем гипотезу:
x ворона => x черная или розовая или ...(все цвета спектра)

Таким образом наблюдение розовой коровы повышает нашу уверенность в том, что вороны - не розовые. Т.е. пронаблюдав миллион розовых предметов, не являющихся воронами, мы вполне можем признак "розовый" исключить из нашей гипотезы. Это если без инверсии.

Для того, чтобы ограничиться только признаком "черный", надо уже обладать определенной уверенностью в том, что она не другого цвета. А для того, чтобы эта уверенность появилась, надо на опыте из первоначальной гипотезы исключить все остальные цвета спектра, что в рассуждениях Гемпеля осталось как бы "за кадром". Почему вдруг черный? Чем другие цвета хуже?
Ну например - какое агрегатное состояние вещества в шаровой молнии? Я могу предположить, что это скорее газ или плазма, но только на основании того, что я раньше исключил твердое и жидкое на основании своего опыта - я наблюдал много твердых и жидких предметов, и все они не являлись шаровой молнией.

Ну и согласитесь, что если наша уверенность в гипотезе равна 1, то наблюдение розовой коровы на нашу уверенность уже никак не влияет - уже некуда.

спустя 40 минут [обр] Алексей Рюмин aka Dwarf(19/864)[досье]
Даниэль Алиевский[досье] Еще размышления. Изначальная уверенность в том, что ворона имеет какой-то цвет, должна быть равна 1. Предположив, для простоты, что она черная или белая, имеем изначальную уверенность по 0.5. Если мы пронаблюдаем много белых предметов, не являющихся воронами, то вполне логично, что наша уверенность в том, что она белая, снизится. Вследствие чего уверенность в том, что она черная, повысится. Ибо цвет она иметь все-таки должна. Если же нам будут попадаться и черные, и белые предметы, которые не являются воронами, то будет снижаться уже суммарная уверннность, и скорее всего, мы придем к выводу, что ворон вообще не существует :) Что истинно в данных условиях опыта. Т.е для того, чтобы выдвинуть гипотезу "все вороны - черные", у нас уже должна быть уверенность в том, что они существуют и что они скорее всего черные. А вот процесс приобретения этой уверенности остался "за кадром".
спустя 3 часа 45 минут [обр] Даниэль Алиевский(2/125)[досье]

А вот жена моя разложила по полочкам примерно таким образом.

Утверждения "все вороны черные" и "все вороны белые" противоречат друг другу, как легко видеть, только при условии существования хотя бы одной вороны. Если ворон нет, то и противоречия нет. Импликации "x ворона => x белая" и "x ворона => x черная" остаются истинными при всех x, в силу ложности посылки.

Теперь вспоминаем наш эксперимент с розовой коровой. Пока мы ловим только только розовых коров или других неворон, мы еще не знаем, есть ли вороны вообще, более того, уверенность в их существовании постепенно падает. Уверенность в обоих утверждениях "все вороны белые" и "все вороны черные", возможно, растет, но точно в такой же (или меньшей?) степени, чем уверенность в том, что ворон вообще нет и - стало быть - противоречия тоже нет.

А что происходит, как только мы ловим первую ворону совершенно любого цвета? Разумеется, по меньшей одна из гипотез "все небелые невороны" или "все нечерные невороны" тут же опровергается. А то и обе, если ворона рыжая. Ну а уверенность в оставшейся гипотезе (если таковая осталась, т.е. ворона черная или белая) продолжается повышаться. Где парадокс?

спустя 39 минут [обр] SelenIT(0/67)[досье]

Мне кажется, что логическая ошибка, на которой строится весь софизм, заключена в четвертом абзаце начального постинга. Естественно, отрицанием утверждения "Все вороны черные" будет "Некоторые вороны не черные", а отнюдь не "Все вороны не черные", как получается там в итоге. Соответствующая истинная импликация, по-видимому будет такова: "Из того, что A не является вороной, следует то, что A может быть не черным". Т.е. доказанная любым законным способом чернота всех ворон отрицает лишь существование нечерных ворон, но вполне допускает существование черных не-ворон. В частности, черных коров и черных крокозябликов.

А здесь налицо банальная подмена исходного тезиса, замаскированная переходом на импликации и жонглированием таковыми. ИМХО.

спустя 26 минут [обр] SelenIT(0/67)[досье]
ой, кажется, постом выше я доказал существование по крайней мере одной нечерной вороны в собственном лице:) подмена тезиса если и есть, то гораздо более тонкая:)
спустя 3 часа 49 минут [обр] Алексей Рюмин aka Dwarf(19/864)[досье]
Даниэль Алиевский[досье] Вывод тот же самый :) Жене - респект :)
Парадокс возникает по той причине, что обращается внимание на признак, уже ранее отброшенный как неверный. Т.е. если мы утверждаем, что "все вороны черные", то утверждение "все белые" мы уже отбросили как неверное на каком-то из этапов познания ранее. Посему все выводы, не учитывающие отброшенные ранее утверждения - не верны.
спустя 1 час 23 минуты [обр] VIG(2/839)[досье]

Даниэль Алиевский[досье]

А в какой он был плоскости, собственно? ;-) По-моему, как раз в той самой, общефилософской.

На общефилософскую плоскость я еще согласен, но тезис "верую, ибо абсурдно" находится, по-видимому, в религиозной или психиатрической (или в обеих) ...

По крайней мере, на классе всех знаний вроде бы определены отношение частичного порядка "является частью", операции объединения-пересечения со всеми их законами, "пустое" знание ("я ничего не знаю"). Дополнение уже вызывает вопросы, но разность вроде бы должна быть.
А что тут разбираться? Берем субъекта-человека (меня) и представляем себе, что он пока что знает крайне мало: ровно столько, чтобы понимать вас. И смотрим, что происходит с его знаниями, когда ему сообщают то-то или то-то.

По некотором размышлении, мне все больше и больше кажется, что Вы ставите телегу впереди лошади ...

Сначала стоило бы попытаться определить или хотя бы прийти к некоторому, пусть неформализованному, но согласию по поводу того, чтО мы понимаем под словом "знание" и как оно соотносится с высказываниями, субъектами и тому подобным ...

Скажем, вы не знаете, верна ли гипотеза Гольдбаха или нет. А я вам сказал, что "любое четное число больше двух представимо в виде суммы двух простых". Знаете ли вы теперь это или нет? Получили ли какое-то дополнительное знание, услышав мое высказывание? Содержится ли в этом сообщении какое-либо знание вообще? А что, если я не просто сказал, но и привел доказательство, которое вы, в меру собственных [ограниченных] сил/знаний/умений, проверили и ошибок не обнаружили? А если не полное доказательство, которое, в принципе, можно было бы автоматически верифицировать (правда, откуда мы знаем, что имеющийся в наличии верификатор работает правильно), а просто набор очень хороших аргументов, свидетельствующих в пользу истинности данного высказывания? Да, а что такое "хороший аргумент", для кого он хороший? Никогда так не бывало, что семью потами изойдешь, все по полочкам разложишь и докажешь только для того, что бы в ответ услышать, что по жизни ты придурок и вообще ни хрена не соображаешь, о чем явно свидетельствует вся та белиберда, которую только что с умным видом нес ...

Если же обратиться к обычным, нематематическим знаниям, то ситуация не только не становится лучше, но и неизмеримо усложняется. Скажем, вы едете в автомобиле и видите у дороги стоящую к вам правым боком белую корову. Какое знание вы при этом получили?

У Хайнлайна в романе "Чужой в стране чужих" есть замечательная находка — Беспристрастный Свидетель. Такой свидетель бы сказал, что видел корову, у которой правый бок белый. Сказать просто, что видел белую корову, Беспристрастный Свидетель не может, поскольку левого коровьего бока он не видел, и корова может вполне оказаться с белым правым и рыжим левым боками.

Но это еще цветочки. Если заняться доведением идеи до совершенства (или до абсурда), сразу же возникает куча вопросов. Как вы можете утверждать, что видели корову? А может, это была такая приземистая жирная лошадь, которой кто-то приделал для смеху рога? А может, это была фигура из папье-маше с моторчиками для имитации жевания и махания хвостом? И насколько мы можем доверять вашим чувствам и рассудку, чтобы поверить тому, что вы вообще что-то видели? И так далее и тому подобное. "В пределе" получается вопрос: существует ли вообще "объективное знание", абсолютно не зависящее от субъекта?

Так что без каких-либо определений, на здравом смысле, интуиции и аналогиях тут, по-моему, вообще никуда не уедешь ...

Стоит ли ради небольшого упрощения теорем и заботы о слабых мозгах студентов вводить новые сущности?

О всегалактической безусловной пользе я не говорю, хотя и считаю, что да, стоит. Потому что эти "новые" сущности все равно уже там, пусть даже в виде неряшливых выражений типа "бесконечно малая величина". А физики испокон веков считали, что "бесконечно малая величина" — это такое нормальное число, просто ну о-о-очень маленькое. И для них никаких новых сущностей не появляется, наоборот, теория становится проще, понятнее и нагляднее.

Ну да ладно, не будем копья ломать на ровном месте. Считаете, что не стОит — пусть не стОит. Я не возражаю. Просто получилась еще одна прекрасная иллюстрация к моему тезису: система аксиом, да и сам объект исследования, выбирается из внематематических соображений.

Кстати, не надо хаять Фихтенгольца :-) Был, есть и будет лучшим учебником по матанализу! :-) У нас, к счастью, он был штатным учебником. Такую обстоятельность я разве что у Кнута видел. Более современные добавляют к Фихтенгольцу разве что разговоры об аксиоме выбора.

Фихтенгольца не хаю. Для своего времени это был действительно лучший учебник. Но, увы, устарел. Не в смысле совокупности содержащихся в нем сведений, а по стилю их изложения. Хотя и сейчас такой стиль может иметь обширную целевую аудиторию. Знаете, из серии " ... for Dummies" — сам эти книжицы читаю с большим удовольствием.

Сравнение с Кнутом, на мой взгляд, неправомерно. Кнут — это не учебник, а справочник. Или, если хотите, пособие по приведению имеющихся у индивида обширных, но хаотических знаний в некоторую систему.

А Фихтенгольц — именно учебник. А для учебника по разделу математики, я считаю, самое главное — это краткость, при условиях a) строгости изложения и б)полноты, чтобы от изложенной в учебнике теории до почти любого ее приложения было не более одного-двух шагов.

Зачем вообще понадобились C' и D'? Ведь C(x0) и D(x0) УЖЕ верны. Почему без инверсии импликаций вам не кажется, что наблюдение розовой коровы как-то влияет на уверенность в цвете ворон? Ведь для розовой коровы импликация "x ворона => x черная" безусловно истинна! Гемпель, похоже, просто замаскировал это обстоятальство переходом к инвертированной импликации.

Это не маскировка, а самая суть парадокса.

Хотя логическая операция импликации истинна при ложной посылке, никакого здравомыслящего человека не убедить, что "все вороны черные", предъявляя ему розовых коров. Он скажет, что коровы к делу не относятся, и будет, по-видимому, прав.

Парадокс Гемпеля и заключается в том, что того же самого здравомыслящего человека можно попытаться убедить в правильности гипотезы "все вороны черные", предъявляя ему черных ворон. Но, как аргументирует Гемпель, инвертировав импликацию, можно показать, что, если человека с данным складом мышления можно убедить, предъявляя черных ворон, то его же можно убедить, предъявляя розовых коров, хотя сначала он на такую туфту не клюнет ...

Кстати, подобная "инвертированная логика" довольно часто встречается в политической, религиозной и тому подобной аргументации. Если знаешь обсуждаемый парадокс, такие пассажи ловятся мгновенно.

А вот жена моя разложила по полочкам примерно таким образом.

Бесподобно. Уважаю.

Хотя парадокс от этого, увы, не исчезает. Пусть мы обосновываем гипотезу "все вороны черные" в инвертированном виде, рассматривая нечерные объекты и убеждаясь, что это не вороны. По пути нам может попасться сколько угодно черных ворон, но они нас не будут интересовать, так как мы изучаем нечерные объекты ...

Мне гораздо больше нравится Ваш вывод, что не существует адекватных личностей :-)

Алексей Рюмин aka Dwarf[досье]

Ничего себе досуг :)

Кому как. Для разных извращенных личостей, типа меня, почесать мозги на досуге — самое оно :-)

спустя 9 часов [обр] Алексей Рюмин aka Dwarf(19/864)[досье]

VIG[досье]

Хотя парадокс от этого, увы, не исчезает. Пусть мы обосновываем гипотезу "все вороны черные" в инвертированном виде, рассматривая нечерные объекты и убеждаясь, что это не вороны. По пути нам может попасться сколько угодно черных ворон, но они нас не будут интересовать, так как мы изучаем нечерные объекты ...

Не вижу парадокса. В результате мы придем к выводу, что среди нечерных предметов ворон не встречается. Что полностью соответствует утверждению "все нечерное - не ворона". Ы?

спустя 10 минут [обр] Алексей Рюмин aka Dwarf(19/864)[досье]
Далее мы выдвигаем гипотезу что они все белые и проверяем все небелые предметы. Если нам попадается черная ворона - то гипотеза не верна. Если вороны не попадаются, то это значит, что их нет вообще или они не обладают свойством "цвет". В данных условиях проведения опыта.
спустя 14 минут [обр] Алексей Рюмин aka Dwarf(19/864)[досье]

VIG[досье] Еще вдогонку.

Хотя логическая операция импликации истинна при ложной посылке, никакого здравомыслящего человека не убедить, что "все вороны черные", предъявляя ему розовых коров. Он скажет, что коровы к делу не относятся, и будет, по-видимому, прав.

Предположим, я подхожу к вам с таким вопросом: "Уважаемый VIG. Мне очень нужно узнать, полоской какого цвета маркируются резисторы с допуском 0.25%. Их, увы, у меня нет, зато есть пара миллионов резисторов с другими допусками."
Скажите, перебрав эту гору резисторов со всеми возможными допусками и цветами полоски (кроме одного, разумеется), будете ли вы уверены, что резисторы с допуском 0.25% маркируются именно этим оставшимся цветом?

спустя 4 часа 23 минуты [обр] VIG(2/839)[досье]

Алексей Рюмин aka Dwarf[досье]

В результате мы придем к выводу, что среди нечерных предметов ворон не встречается.

Не в результате. По ходу дела, рассматривая каждый очередной нечерный объект и убеждаясь, что это не ворона, мы повышаем нашу уверенность в том, что все вороны черные. То есть, изучение очередной розовой коровы увеличивает степень нашей уверенности в том, что все вороны черные. Ы?

спустя 2 часа 1 минуту [обр] Даниэль Алиевский(2/125)[досье]

VIG[досье]

По ходу дела, рассматривая каждый очередной нечерный объект и убеждаясь, что это не ворона, мы повышаем нашу уверенность в том, что все вороны черные. То есть, изучение очередной розовой коровы увеличивает степень нашей уверенности в том, что все вороны черные. Ы?

Так это ведь само по себе не парадокс. Звучит странно, не более. Парадокс, казалось нам, возникает, если одновременно рассмотреть гипотезу про белых ворон. Ибо непонятно, как может повышаться уверенность в двух взаимоисключающих утверждениях.

Так вот, как описала моя жена, получается: пока мы не наблюдали ворон, утверждения не взаимоисключающие и парадокса нет. А как попадется хоть одна ворона, то минимум одно из утверждений (все нечерные невороны или все небелые невороны) будет опровергнуто.

спустя 1 час 50 минут [обр] VIG(2/839)[досье]

Даниэль Алиевский[досье]

Не-а, парадокс именно здесь. С двумя взаимоисключающими гипотезами, похоже на то, справились (если я чего-то капитального не просмотрел). Честь и хвала Вашей жене. Но основная бяка осталась.

Повторю еще раз.

  1. Допустим, я — здравомыслящий человек (адекватная личность), не знающий, существуют ли вороны вообще и каких они бывают цветов. Тем не менее, я способен распознать в предъявленном мне объекте ворону. Мне высказывают гипотезу "все вороны черные". Я не знаю, верна эта гипотеза или нет, но какое-то суждение по данному вопросу имею. Основания для этого мои личные и никому не интересные.
  1. Теперь меня начинают убеждать в правильности этой гипотезы, предъявляя ворон и говоря при этом: "Видишь, ворона. И черная. Значит, все они такие". Мало-помалу моя уверенность растет (не доходя, однако, до 1). Т.е., с первой же предъявленной черной вороной, она, эта априорная степень уверенности, трогается с места. Пока все разумно?
  1. В другом варианте мне показывают розовую корову и убеждают: "Видишь, не ворона. Значит, все вороны черные!" Как по-вашему, куда мне, здравомыслящему человеку, нужно послать собеседника с такой логикой?
  1. Но собеседник оказался хитер и высказал гипотезу "все нечерные объекты — не вороны". Поскольку, как известно из пункта 2, меня можно убедить в правильности гипотезы, предъявляя подтверждающие примеры, он идет по проторенной дорожке и показывает мне розовых коров, приговаривая: "Видишь, не черная. И не ворона. Значит, все не черные объекты — не вороны" (при этом черные вороны, буде встретятся, пропускаются, поскольку не удовлетворяют посылке гипотезы). Я простодушно чешу репу и мыслю: "Да, действительно. Что-то в этом, наверное, есть ... ".

Парадокс и состоит в том, что одна и та же адекватная личность ведет себя по-разному в пп. 3 и 4, хотя они логически эквивалентны. И мне понравилось Ваше высказывание о том, что адекватных личностей не бывает, как бы это ни было грустно для нашего самомнения ... :-)

спустя 3 часа 4 минуты [обр] Даниэль Алиевский(2/125)[досье]

VIG[досье] Наверно, я и впрямь неадекватен, ибо на этот раз не вижу принципиальной разницы в способах убеждения 2 и 3 :-) Кроме, конечно, той частной детали, что множество нечерных объектов неизмеримо шире множества ворон, соответственно и "величина убедительности" пункта 3 неизмеримо меньше. Но при этом тоже положительна. Если вместо ворон взять карточную масть, все вообще вроде бы почти одинаково здраво.

Разницы в утверждениях "вороны черные" и "нечерные невороны" личность вроде меня не усмотрит :-)

В жизни полно случаев, когда мы так рассуждаем. Еще Шерлок Холмс, вместо проверки того, что если известные факты верны, то убийца такой-то, проверял, что если убийца - кто-то другой, то эти факты верными быть никак не могут.

спустя 1 час 33 минуты [обр] VIG(2/839)[досье]

Даниэль Алиевский[досье]

Ну что ж, значится, так тому и быть.

Возможны следующие варианты отношения к предмету разговора:

  1. Это вообще не парадокс, а полная чушь.
  2. Это вообще не парадокс, потому что так оно и есть: немного странно на первый взгляд, но, в принципе, если разобраться, ничего удивительного.
  3. Гемпель выявил немалые слабости и пробелы в нашем [интуитивном] определении таких понятий, как подтверждающий пример, убедительность, здравый смысл, знание, адекватность и тому подобное.

Насколько могу судить, на протяжении данного треда Ваши взгляды потихоньку эволюционировали от 1 к 2. Я же, все-таки, склоняюсь к 3.

Еще раз поздравления Вашей жене ... хотя ... кое-какая закавыка еще осталась:

Предположим, Ч утверждает, что "все вороны черные", а Б считает, что "все вороны белые". При этом ни тот ни другой ни одной вороны в глаза не видели, но оба знают (и мы с вами тоже), что вороны существуют. Как и ранее, по рассуждениям Гемпеля обнаруженная розовая корова добавляет уверенности и Ч, и Б. Но теперь нет спасительной лазейки, когда ворон вообще нет, и, следовательно, обе гипотезы верны ;-)
 

спустя 44 минуты [обр] Даниил Иванов(0/63)[досье]

Рабоче-крестьянская логика подсказывает, что это не парадокс, а полная чушь. :)

Если все вороны нечёрные, то отрицание этого выражения будет означать не "все невороны нечёрные", а "существуют нечёрные невороны и чёрные невороны" :)

спустя 11 часов [обр] Даниэль Алиевский(2/125)[досье]

VIG[досье]
На самом деле вопрос, безусловно, не закрыт. Замечание, что при отсутствии ворон парадокса нет, еще ничего не доказывает - до тех пор, пока мы не знаем точно, что такое пресловутая "уверенность". В каких случаях и почему она растет. Чтобы парадокс в любой форме состоялся, нужно либо признать неэквивалентность a=>b и ~b=>~a (как так?), либо считать верной следующую интересную вещь. А именно: ЛЮБОЙ наблюдаемый факт D(x), не имеющий отношения к существу дела, подтверждает эмпирическую уверенность в произвольном утверждении

для любого x A(x) => B(x)

если только A(x) неверно.

По существу. В вашей "закавыке" бросается в глаза очевидный огрех. Откуда Б может знать, что вороны существуют, если он никогда их не видел? А если видел хотя бы одну, то он знает, что она черная, и уверенность у него может быть только 0.

Очевидные контрдоводы.

  1. Наши Ч и Б знают от меня, что вороны существуют. Но забыли спросить про цвет. Вот и устроили совместную проверку.
  1. (Более интересно, так как не зависит от понятий вроде "я узнал у бабушки".) Я знаю, что трансцендентные числа существуют, в силу простейшего "диагонального" доказательства теоремы Кантора о несчетности континуума (и не менее элементарной схемы пересчета алгебраических чисел). Но конструктивного доказательства, допустим, у меня нет! (Если не нравится сознательное "забывание" факта трансцендентности PI, то можно взять что-нибудь другое, где гарантированно отсутствует конструктивное доказательство. Скажем, существование полного упорядочения того же континуума в арифметике без полной аксиомы выбора.)

А теперь я выдвигаю какое-нибудь правдоподобное, но нетривиальное предположение A(x) о трансцендентных числах. И противоречащее ему B(x). (Скажем, A(x): в десятичной записи такого числа, в первых 100 цифрах после запятой, есть хотя бы одна девятка. B(x) - девяток там нет.) Пусть T(x) = "x трансцендентно".

И поехали все то же самое. Берем алгебраическое число, где ~A(x), смотрим, ага: ~T(x). Уверенность в T(x)=>A(x) увеличивается. Но так же легко взять алгебраическое число с ~B(x). В чем же мы убеждаемся?

А ведь любого математика ДЕЙСТВИТЕЛЬНО легко убедить, что если некоторое свойство верно для всех натуральных чисел, если оно проверено для первого миллиарда чисел и в его формулировке нет каких-нибудь "особенностей", заставляющих предполагать большие числа. Вот Ферма был убежден в простоте всех своих чисел 2^2^n+1 после проверки всего лишь первых четырех. А если бы сейчас мы вдруг обнаружили, что они простые при n от 1 до 1000000 - неужто у кого-нибудь остались бы сомнения?

Даниил Иванов[досье] А при чем тут отрицание? Речь идет об эквивалентности утверждений a=>b и ~b=>~a, в данном случае связанных квантором общности.

спустя 30 минут [обр] Даниил Иванов(0/63)[досье]
Даниэль Алиевский[досье]
Но ведь исходя из здравого смысла,
вывод о том, что раз "все вороны чёрные" => "все невороны нечёрные" абсурден. Почему мы исключаем множество "чёрных неворон"?
спустя 3 минуты [обр] Даниэль Алиевский(2/125)[досье]

Кстати, развивая первое направление для конечных множеств. (Когда я знаю "от кого то", что искомые вещи существуют.)

Возвращаемся к колоде карт - конечной, но о-очень большой. Миллионы самых разных карт. А теперь фокус: берем и заменяем кванторы конъюнкциями & и дизъюнкциями v. Множество-то конечно.

Итак. Пусть туз(x): "x есть туз", П(x): "x пиковая", Т(x): "x трефовая". Карты в колоде суть x1, x2,...., xN, N очень велико. Тузы попадаются не чаще, чем один на тысячу.

Допустим, я знаю дизъюнкцию: туз(x1) v ... v туз(xN). (Тузы есть - это мне приятель сказал.) Но насчет мастей я не знаю ничего.

Меня интересует конъюнкция по всем x следующей гипотезы Г1(x): туз(x) => П(x). (Не будем уже маскировать ее переходом к противоположному обратному, это "для чайников".) А также следующей гипотезы Г2(x): туз(x) => Ч(x).

Беру x1. Вижу, что не туз, поэтому Г1(x1) верно и Г2(x1) верно.
Беру x2. Вижу, что не туз, поэтому Г1(x2) верно и Г2(x2) верно.
Беру x3. Вижу, что не туз, поэтому Г1(x3) верно и Г2(x3) верно.
...
Допустим, тузов пока не попалось. Прибавилось мне знания или нет? В конце концов я обрету полное знание, выражаемое конъюнкцией всех Г1(x), но пока еще этого нет. Кажется очевидным, что каждый новый x, для которого Г1(x) верно, приближает нас к полному знанию, выражаемому полной конъюнкцией Г1. И то же самое с Г2.

Но беда в том, что в сочетании с имеющимся знанием ТУЗЫ = "туз(x1) v ... v туз(xN)" полные конъюнкции Г1 и Г2 несовместимы.

Парадоксально это или нет? Подумал, подумал, устал и ничего не придумал.

Даниил Иванов[досье]

вывод о том, что раз "все вороны чёрные" => "все невороны нечёрные" абсурден

Да нет же. Вы написали "из a=>b выводится ~a=>~b". Правильно будет: "из a=>b выводится (более того, эквивалентно) ~b=>~a". Элементарная алгебра логики.

спустя 1 час 58 минут [обр] Даниил Иванов(0/63)[досье]

Даниэль Алиевский[досье]
Аа..В смысле - "все нечёрные - невороны"?

Но всё равно коровы к воронам никакого отношения не имеют, ибо непересекающиеся множества.
Мы же не будем изучать фауну на Альфа Центавра, чтобы доказать, что всё вороны на планете Земля чёрные.
Так и коровы по отношению к воронам - та же самая фауна с Альфа Центавра. :)

спустя 34 минуты [обр] Дмитрий Котеров(11/912)[досье]
Даниил Иванов[досье]
Вы прочитаете, наконец, этот топик с самого начала, или неь?
спустя 1 минуту [обр] Даниил Иванов(0/63)[досье]
Дмитрий Котеров[досье]
Я прочитал. Я высказываюсь с позиций рабоче-крестьянской логики :)
спустя 14 минут [обр] Дмитрий Котеров(11/912)[досье]
Не верю, что прочитали. Это не с позиций рабоче-крестьянской логики, это с позиций человека, который так и не понял, что написали - даже самых начал. Потому что предыдущий Ваш вопрос говорит именно об этом.
спустя 2 часа 24 минуты [обр] Даниил Иванов(0/63)[досье]
Дмитрий Котеров[досье]
Вот вы мне ответтье - изучение фауны на Альфа Центавра поможет выяснить - все ли вороны на Земле чёрные или нет?
:)
спустя 38 минут [обр] SelenIT(0/67)[досье]

Рискну предпринять вторую попытку обнаружить подмену тезиса в парадоксе: по моему обдуманному мнению, она заключается в замене понятия "не опровергает" понятием "подтверждает". То, что "доказательная сила" розовой коровы для тезиса "Все вороны черные" или "Все вороны белые" неотрицательна, еще не значит, что она положительна. На самом деле "доказательная сила" в обоих случаях равна нулю (в терминах игры в "данетки" - "неважно"). По идее, строго логический вывод можно делать только в двух случаях:

  1. если среди предметов отличного от проверяемого цвета обнаружена ворона;
  2. если исчерпано множества всех предметов отличных от проверямого цветов во Вселенной, при этом ни одной вороны среди них не обнаружено.

Во всех других случаях можно выдвигать лишь статистические гипотезы, вероятность которых прямо зависит от отношения количества обследованных элементов проверяемого множества к их общему количеству. Поскольку любых небелых или нечерных предметов во Вселенной (кстати, как определить цвет атома? :) несоизмеримо больше количества ворон, то для обоснования статистической гипотезы вторая постановка эксперимента (как раз та, что приводит к парадоксу) абсурдна. Это очевидно даже на интуитивном "рабоче-крестянском" уровне.

спустя 2 часа 33 минуты [обр] Даниэль Алиевский(2/125)[досье]
SelenIT[досье] А как же быть с колодой карт и непиковыми тузами? Там количества испытуемых предметов вполне сравнимы. Что будет со "статистическими" гипотезами?
спустя 3 часа 1 минуту [обр] SelenIT(0/67)[досье]
Даниэль Алиевский[досье] А, по-видимому, ничего с ними не будет. Они так и останутся гипотезами, пока не будет вытянут непиковый туз или не будет выбрана вся колода. До этого момента (с точки зрения логики), любая карта, не опровергающая исходный постулат, вообще ровным счетом ничего не доказывает. А "субъективная уверенность" и логика - вещи никак не между собой не связанные...
спустя 8 часов [обр] Даниэль Алиевский(2/125)[досье]

SelenIT[досье] А тут про формальную логику речи и нет... Если интересуют парадоксы формальной математики - то вам совсем в другой огород. Туда, где шар можно разбить на конечное число кусков, а потом из них сложить без пустот два шара того же размера.

Тут, собственно, вопрос, как я понимаю, практически точно относящийся к Кантовской "Критике чистого разума". (Добрался наконец до этой чудесной книжицы, читаю.)

VIG[досье] Предлагаю еще упростить задачу и подумать над ситуацией, когда в наличии всего ДВА предмета. (Миллионы наблюдений - это ведь тоже "маскировка" проблемы, так же как переход к ~b=>~a.)

В колоде всего две карты. (А в мире - всего две животные особи.) Я откуда-то знаю, что там есть тузы (а на планете кто-то видел ворону.) Может быть, один туз, а может, обе карты - тузы. (Может, всего две вороны и есть, а больше никого. А может, ворона и корова. Или ворона и заяц.)

У меня гипотеза (чем-то обоснованная или нет): тузы (1 или 2) непременно пиковые. (А ворона или вороны - непрменно черные.) У меня есть оппонент, у которого, соответственно, гипотеза: они трефовые (а вороны белые). И вот мы приступаем к проверке. Он тоже знает, что тузы (вороны) есть.

Вытянули карту (словили животину). Бубновая двойка! (Розовая корова!) Наша импликация a=>b (равносильная ~b=>~a) блестяще подтвердилась. Увеличилась ли наша уверенность? Моя - что тузы пиковые (вороны черные), а противника - что трефовые (вороны белые)?

Если предположить, что наша уверенность не изменилась, то, сдается мне, получается тоже своего рода бред. Следите внимательно.

Есть два утверждения A и B (возможные итоги для первого и второго эксперимента). В моем случае это: "если первая карта туз, то она пика" и "если вторая карта туз, то она пика". У оппонента - соответственно трефа (A' и B').

Посадим за проверку человека - идеально честного третейского судью. Первым делом он проверяет колоду и говорит нам с оппонентом: "в колоде есть хотя бы один туз!".

Далее, пусть он вытягивает карты и не говорит мне ничего, кроме: верно ли A, верно ли B (более ничего ни про масть, ни про название карты!) Аналогично, оппоненту он говорит только: верно ли A', верно ли B'. (Я этого не слышу! Карты я не вижу!)

Может статься, судья скажет мне: верно A, верно B. Таким образом он сообщит мне некое знание - я буду знать, что в колоде все (1 или 2) туза были пиковые.

Первой картой была бубновая двойка, так что нам с оппонентом судья сказал "да" (мне про A, ему про A'). Если считать, что после первого эксперимента наша с оппоннетом уверенность увеличилась, то это парадоксально, ибо наши предположения противоречивы (в свете изначального знания про наличие тузов). Если считать, что не изменилась, то получается, что судья, сказав A, не сообщил мне никакого знания. Информация появится только с ответом B. Но это тоже очень странно! Как так: мне говорят A, я еще ничего не знаю, мне потом говорят B, и я уже знаю A&B. Если с A мне не прибыло вообще никакого знания, то A, стало быть, вовсе бессодержательно, можно было и промолчать. Но ведь если бы судья в первом эксперименте молчал, я бы так и не узнал итога!

Может быть, знание и уверенность - вещи не связанные? Мне сказали A, я теперь знаю A, но это никак еще не дает мне оснований надеяться, что будет A&B? А что тут скажет статистика? Возьмем большое семейство колод, все карты встречаются равновероятно. Для A вероятность true p (близко к 1), вероятность false 1-p. Вероятность A&B - p^2. Разве, когда я узнал A, вероятность не возросла до p? А каким образом одновременно возросла вероятность у оппонента?

Вот такая пища к размышлению... Надо еще повозиться.

спустя 13 минут [обр] Даниэль Алиевский(2/125)[досье]
Впрочем, статистику я зря "помянул к ночи". Это точная наука, на наши познания ей плевать, там парадоксов, разумеется, не получается.
спустя 2 часа 7 минут [обр] SelenIT(0/67)[досье]
Даниэль Алиевский[досье], да, я считаю, что ответом "Импликация из ложной посылки истинна" судья не сообщил ровным счетом никакой информации об исходных гипотезах (за исключением того, что спор не окончен и решить его должна вторая карта - но это лишь "отсрочка" окончательного решения, а не шаг к решению). И ничего парадоксального в этом не вижу.
Ответ на вопрос "Верно ли A&B?" состоит из одного бита (да-нет). Если вопрос не решился на первом шаге (не был вытащен бубновый или червовый туз, не была поймана обычная серая или зелено-фиолетовая в оранжевую крапинку ворона), наши с оппонентом знания об итоге эксперимента отстоят от нас ровно на столько же, что и перед его началом - на 1 бит. Хотя ни мне, ни оппоненту, конечно, не запретишь надеяться или даже быть уверенным, что прав именно он. Но это уже совсем другая наука психология:)
спустя 4 часа 40 минут [обр] NB[досье]
"А ведь любого математика ДЕЙСТВИТЕЛЬНО легко убедить, что если некоторое свойство верно для всех натуральных чисел, если оно проверено для первого миллиарда чисел и в его формулировке нет каких-нибудь "особенностей", заставляющих предполагать большие числа. Вот Ферма был убежден в простоте всех своих чисел 2^2^n+1 после проверки всего лишь первых четырех. А если бы сейчас мы вдруг обнаружили, что они простые при n от 1 до 1000000 - неужто у кого-нибудь остались бы сомнения?"
 Это как раз только добавляет уверенности , но никак не убеждает. А то большинство теорем доказывать можно было бы простым перебором.
спустя 15 минут [обр] NB[досье]
У меня возник один тупой вопрос, но никак не могу от него отделаться........
 если две прямые не пересекаются, следовательно они параллельны
 ну и наоборот.
Верно и прямое и инверсное в каких-то пространствах, в каких-то уже нет.......
Почему же тогда рассуждения логические,перенесенные на природу,где законы классической математики действуют в меньшей степени, должны выполняться?
спустя 4 часа 32 минуты [обр] Даниэль Алиевский(2/125)[досье]

SelenIT[досье]
Я думаю, "наука" все-таки здесь - философия. Если это вообще наука. Конечно, не логика, не теория вероятностей и не теория информации. Там, к счастью, таких вопиющих парадоксов пока нет.

Это же всего лишь попытка применить классическую схему индуктивного рассуждения, незаконную с точки зрения логики, но тем не менее так хорошо работающую в реальной практике. Если каждый день восходит солнце, то оно и завтра взойдет. Если некто ни разу не украл, то и сейчас не украдет. Если энергия все время сохраняется, то это всегда будет так. Спрашивается, почему сия проверенная схема дает осечку в столь простых, хотя и искусственных, ситуациях?

NB[досье]

 Это как раз только добавляет уверенности , но никак не убеждает. А то большинство теорем доказывать можно было бы простым перебором.

Таки добавляет? А ведь только о том и речь :-) О доказательствах речи нет.
Если не ошибаюсь, немало теорем теории чисел найдено именно таким путем - наблюдениями за большими наборами чисел. Заранее зная, что с "уверенностью" 99.999...% они истинны, и игра стоит свеч: надо искать доказательство. А уж потом их доказывали. Или же они до сих пор имеют статус гипотез.

У меня возник один тупой вопрос, но никак не могу от него отделаться........
 если две прямые не пересекаются, следовательно они параллельны
 ну и наоборот.
Верно и прямое и инверсное в каких-то пространствах, в каких-то уже нет.......
Почему же тогда рассуждения логические,перенесенные на природу,где законы классической математики действуют в меньшей степени, должны выполняться?

А о чем вы, собственно? Какие такие законы классической математики не действуют в природе? Какова метрика реального пространства - это и правда вопрос; ОТО утверждает, что кривая. Ну и что?

VIG[досье]
Возвращаясь к нашим баранам...

Что ж делать, запутался я. Пришлось взять пиво и опять идти на поклон с моей жене. С этой вашей "закавыкой", насчет предположения, что я заранее знаю о существовании ворон.

Выпив банку пива и подумав, жена сказала следующее. Хорошо, допустим, и правда, уверенность в черноте всех ворон и правда возрастает с каждой розовой вороной. А вероятность? Вероятность, при любой строгой формализации задачи, разумеется, к противоречиям не ведет. Так давайте рассмотрим куда более простую ситуацию.

Берем самую обыкновенную, "честную" монетку. И начинаем ее кидать. Допустим, выпал орел. Допустим, во второй раз тоже выпал орел. И в третий, и в четвертый. (Ну случилось так: монетка "честная"!) Изменилась ли вероятность, что в пятый раз выпадет орел? Нет! По-прежнему 50%. А наша "уверенность"? Если следовать логике воронно-коровьего парадокса, то увеличилась. Ибо я все больше убеждаюсь в "гипотезе", что есть такой закон: монетка всегда падает орлом вверх. Хуже того, уже первый выпавший орел увеличивает уверенность в этой гипотезе.

А представьте, что точно такую же монетку в соседней комнате кидает оппонент. И у него (так случилось) выпадает подряд 4 решки. Он точно так же приходит к выводу, что свойство монетки - всегда падать решкой вверх.

Насколько это парадоксально? Может, сначала стоит разобраться с нашей "неадекватностью" уже на этом, куда более примитивном уровне?

А я, со своей стороны, добавлю: в самом начале дискуссии я подозревал, что рассуждения "по аналогии" ограничены весьма узкой областью. Множество предметов, о которых идет речь, должно быть a priori однотипно, подчинено некоей закономерности, чтобы какие-либо суждения о нем можно было аргументировать, пронаблюдав лишь часть элементов множества. Множество падений монетки, например, сюда не относится (если, конечно, монетка "честная" и ее падения орлом вверх не могут быть обусловлены закономерностью вроде липкости стороны с решкой). Наши тесты на импликацию, проводимые (в том числе) с неворонами, тоже относятся к разнотипным ситуациям.

спустя 1 час 20 минут [обр] Алексей Рюмин aka Dwarf(19/864)[досье]

VIG[досье]

  1. Допустим, я — здравомыслящий человек (адекватная личность), не знающий, существуют ли вороны вообще и каких они бывают цветов. Тем не менее, я способен распознать в предъявленном мне объекте ворону. Мне высказывают гипотезу "все вороны черные". Я не знаю, верна эта гипотеза или нет, но какое-то суждение по данному вопросу имею. Основания для этого мои личные и никому не интересные.

Если я не знаю, какие бывают вороны, то эта гипотеза для меня, все равно что "крокозяблики серо-буро-малиновые в крапинку".

  1. Теперь меня начинают убеждать в правильности этой гипотезы, предъявляя ворон и говоря при этом: "Видишь, ворона. И черная. Значит, все они такие". Мало-помалу моя уверенность растет (не доходя, однако, до 1). Т.е., с первой же предъявленной черной вороной, она, эта априорная степень уверенности, трогается с места. Пока все разумно?

Вполне разумно.

  1. В другом варианте мне показывают розовую корову и убеждают: "Видишь, не ворона. Значит, все вороны черные!" Как по-вашему, куда мне, здравомыслящему человеку, нужно послать собеседника с такой логикой?

Одна корова убедит меня (но совсем немного), в том, что вороны (или крокозяблики) не розовые. И только. После просмотра миллиона розовых объектов - не ворон я буду в этом убежден. В то, что она не синяя и не зеленая, меня еще предстоит убедить :)

  1. Но собеседник оказался хитер и высказал гипотезу "все нечерные объекты — не вороны". Поскольку, как известно из пункта 2, меня можно убедить в правильности гипотезы, предъявляя подтверждающие примеры, он идет по проторенной дорожке и показывает мне розовых коров, приговаривая: "Видишь, не черная. И не ворона. Значит, все не черные объекты — не вороны" (при этом черные вороны, буде встретятся, пропускаются, поскольку не удовлетворяют посылке гипотезы). Я простодушно чешу репу и мыслю: "Да, действительно. Что-то в этом, наверное, есть ...

Ну и? После просмотра миллиона объктов, не являющихся воронами, я, пожалуй, соглашусь, что либо они черные, либо их нет вообще.
Обратите внимание на мой пост про шаровую молнию. Поиск решения "от обратного" очень даже распространен в познании мира, особенно когда сам объект мы не можем разобрать на запчасти :)
В случае с молнией прямую гипотезу "шаровая молния имеет ... агрегатное состояние" проверить не удастся, а вот обратная может дать какой-то результат, ибо опыт экспериментатора позволяет сказать, что это не твердое тело и не жидкость.
Еще вспоните историю открытия химических элементов, когда факт того, что какое-то вещество не обладало комплексом свойств уже известных веществ, давал право говорить об открытии нового элемента. Где парадокс-то?

спустя 2 часа 51 минуту [обр] SelenIT(0/67)[досье]

Прошу прощения, но не могу противостоять соблазну окончательно довести парадокс до абсурда :)

Начнем с того, что черных ворон не существует, на эту мысль косвенно наводит само название данного вида птиц - ворона серая (Corvus cornix). Тому имеется следующее экспериментальное доказательство.

Лично я достаточно продолжительный срок наблюдения (более 20 лет) ни не встретил ни одной полностью черной вороны, хотя каждый день наблюдал от 1-2 до 100-1000 ворон. На этом основании, используя физическую индукцию, основываясь на интуитивном представлении о здравом смысле и ощущая себя адекватной личностью, заявляю: все ворОны не черные. А все, что может быть принято за черную ворону - ошибка наблюдения. Я уверен в этом практически на 100%. И демонстрация любого количества черных птиц не убедит меня в том, что ворона может быть черной, пока авторитетный для меня орнитолог логически непротиворечиво не докажет мне, что данная птица действительно ворона-меланист (а не грач, вОрон (Corvus corax), крупный черный дрозд или прежде неизвестный науке крокозяблик).

Следовательно, постулат "A - ворона & А черная" ложен. В силу истинности любой импликации из ложной посылки, любая теория, исходящая из черноты ворон, может быть сколько угодно стройной и непротиворечивой, но только до тех пор, пока не разобьется о суровую прозу реальности...

спустя 16 часов [обр] VIG(2/839)[досье]

За выходные длина треда заметно увеличилась. Прошу прощения, на этот раз не буду отвечать каждому по отдельности, но не могу отказать себе в удовольствии подлить еще масла в огонь :-)

Тут много раз упоминались статистика и вероятности. Что ж, проведем элементарный статистический эксперимент. Пусть наш "животный мир" состоит из черных ворон (ЧВ), белых ворон (БВ) и розовых коров (РК). Для простоты предположим, что в нем всего две особи, каждая из которых может равновероятно быть любого вида. Тогда возможны 9 вариантов, которые мы априорно считаем равновероятными с вероятностью 1/9:

  1. ЧВ ЧВ
  2. ЧВ БВ
  3. ЧВ РК
  4. БВ ЧВ
  5. БВ БВ
  6. БВ РК
  7. РК ЧВ
  8. РК БВ
  9. РК РК

Как легко видеть, априорная вероятность гипотезы "все вороны черные" равна 4/9 (варианты 1,3,7,9). Апостериорная вероятность этой гипотезы при наличии подтверждающего примера (первая животина — черная ворона) увеличивается до 2/3: теперь возможны только варианты 1,2,3 (каждый с вероятностью 1/3), и нас устраивают 1 и 3. Пока все разумно: подтверждающий пример увеличивает нашу уверенность (в данной постановке совпадающую с вероятностью). Но ... апостериорная вероятность этой гипотезы при наличии розовой коровы тоже равна 2/3 ! Теперь возможны варианты 7,8,9, и нас устраивают 7 и 9.

Таким образом, две гипотезы "все вороны черные" и "все вороны белые" имеют вероятность 4/9 каждая, и обнаружение розовой коровы увеличивает вероятность каждой из них до 2/3.

Ограничение "существует хотя бы одна ворона" сужает множество возможных вариантов до 8 (все, кроме 9), каждый теперь с вероятностью 1/8. Априорная вероятность гипотезы "все вороны черные" равна 3/8 (варианты 1,3,7). Апостериорная вероятность при наличии подтверждающего примера равна 2/3 (варианты 1,2,3, устраивают 1 и 3). Апостериорная вероятность при наличии розовой коровы равна 1/2 (варианты 7 и 8, устраивает 7), т.е. и здесь обнаружение розовой коровы повышает нашу уверенность в том, что все вороны черные.

Парадоксальное утверждение, что обнаружение розовой коровы одновременно повышает вероятность двух взаимоисключающих (когда вороны существует) гипотез также находит простое объяснение: априорно каждая гипотеза имеет вероятность 3/8, а оставшиеся 2/8 соответствуют исходам, когда обе гипотезы ложны. Обнаружение розовой коровы устраняет "ничейную землю", и вероятность каждой из гипотез за этот счет возрастает до 1/2.

Аналогичные выкладки можно провести для более сложных случаев (большее число видов/цветов/экземпляров), и результат везде будет один и тот же: в "чистом" статистическом эксперименте обнаружение розовой коровы повышает вероятность гипотезы "все вороны черные".

Так что же, никакого парадокса и не было? Не спешите. Как неоднократно замечал Даниил, статистика и логика — точные науки, и в них парадоксов нет.

А парадокс этот имеет гуманитарно-философскую природу. Почему обнаружение черной вороны повышает нашу [интуитивную] уверенность в том, что "все вороны черные" (хотя можно спорить, насколько) ? И почему обнаружение розовой коровы мы [интуитивно] считаем не относящимся к делу?

Вообще, с априорными-апостериорными вероятностями не все так просто. В любом учебнике по теории вероятностей говорится, что для независимых испытаний предыстория не влияет на вероятности. То есть, если правильная монетка выпала орлом 25 раз подряд, то и при следующем броске вероятности двух возможных исходов будут все теми же 50 процентами.

Ничего не имею против, более того, сам так считаю. Но ... рассмотрим такой пример. Устраивается лотерея: миллион человек собирает по рублю, затем случайно выбирается один из них, который этот миллион и выигрывает. Предположим, в первом тираже счастливчиком оказался я: принимаю поздравления, а все остальные только самую малость разочарованы. Но оказалось, что и во втором тираже я выиграл миллион. Теперь все смотрят довольно косо, хотя и говорят, пожимая плечами: "Всякое случается". Проводится третий тираж, и опять я выигрываю. Теперь вся толпа в едином порыве бьет меня и устроителей лотереи канделябрами.

А теперь, внимание, вопрос: почему в этой толпе с канделябрами будут и математики-статистики? Ведь после первого тиража (а равно и после второго), как говорится в учебниках, история забыта, и вероятность выигрыша для каждого из миллиона участников все та же 1/1000000 ;-)


Но еще раз: причины парадокса Гемпеля не сводятся к статистике и не объясняются ей. Как мне кажется, этот парадокс имеет скорее семантическую природу, поскольку мы не определяем точно (математически точно) такие понятия как здравый смысл, уверенность, адекватность, знание и тому подобные. И для разрешения парадокса необходимо эти понятия математически определить, причем не только внутренне непротиворечиво, но и максимально общо, чтобы полученная модель была работоспособна на практике. К примеру, чисто статистическое определение вряд ли будет пригодно, поскольку в этой модели личность предполагается 100%-но адекватной, только если она себя ведет в идеальном соответствии с точно вычисленными вероятностями ... а таких личностей в природе заведомо не существует ...

спустя 1 час 24 минуты [обр] Алексей Рюмин aka Dwarf(19/864)[досье]
VIG[досье] Ну это уже не интересно :) Как пишут в тех же учебниках, вероятность того, что произойдут несколько независимых событий, равна произведению вероятностей этих событий. Итого: вероятность выиграть три раза подряд равна 1Е-18, и побьют вас правильно :)
спустя 2 часа 17 минут [обр] VIG(2/839)[досье]

Алексей Рюмин aka Dwarf[досье]

Фи, это мы одной левой :-) Вероятность того, что в первом тираже выиграет Федя, во втором — Петя, а в третьем — Коля тоже равна 10Е-18, но в этом случае ни у кого претензий почему-то не будет ...

спустя 44 минуты [обр] Антон Клесс(0/25)[досье]

Я вчера поймал ворону и покрасил зеленой краской.
Чтобы опровергнуть любое утверждения вида "для любого A справедливо A=X" достаточно привести один пример вида "A!=X".
X=const.

Итого: со вчерашнего дня не все вороны черные.
100%.

спустя 1 час 11 минут [обр] NB[досье]
Ну философия, так философия. Некто живет и каждый день наблюдает солнечную погоду. С каждым новым днем
 он все больше убеждается в том, что в этой местности всегда солнечно(чернота ворон).
то, что ему пишут друзья из соседней местности, что там также солнечно увеличивает его убежденность. То, что ему пишут,что где-то далеко пасмурно еще раз убеждает его в том же
(розовая корова).
И все, уверенность этого товарища в каждом новом солнечном дне близка к 1,но в один прекрасный момент наступает великий ливень........
Не значит ли это,возвращаясь к животным, что наличие розовой коровы служит еще и убеждением в том. что кроме черного бывает другой цвет, в том числе у ворон????????
А с честной монеткой? Если мы знаем ,что у нее две стороны, то разве убеждаемся путем ее постоянного падения на одну только в том,что она всегда так будет?
Интуитивно кажется,что все это вскоре сменится противоположным процесом.
Мне кажется,что при подходе к какому-то порогу, убежденность в чем-то начинает возростать все с менеьшей скоростью, поэтому с новым экспериментом убежденность увеличивается не на x2 , а
на x2* e^n.
спустя 20 минут [обр] SelenIT(0/67)[досье]
Антон Клесс[досье], вы хотите сказать, что до вашего, простите, варварского поступка несчастная птица была черной и при этом определенно являлась вороной? Что вы натворили, Антон! У вас был уникальный шанс экспериментально доказать, что черный вороны существуют, и тем самым опровергнуть результаты моего многолетнего эксперимента! А теперь единственная, возможно, в истории биосферы черная ворона утратила свою уникальность (по крайней мере, до следующей линьки - если она, конечно, вообще выживет), и мой тезис о нечерноте всех ворон остался в силе, более того - получил новое подтверждение... :)
спустя 12 часов [обр] Алексей Рюмин aka Dwarf(19/864)[досье]
VIG[досье] Потому, что вероятность того, что выиграют разные люди, практически равна 1 (за вычетом 1Е-18). Какие конкретно - неважно, главное, что разные.
спустя 4 часа 54 минуты [обр] VIG(2/839)[досье]

Алексей Рюмин aka Dwarf[досье]

Понимаете, очень трудно объяснять, если собеседник не знает/понимает основ. Ваше "потому что вероятность того, что выиграют разные люди, практически равна 1" может иметь некий смысл в бытовой дискуссии, но в математике этого недостаточно. Здесь нужно доказывать утверждения, однако, а неформальные высказывания пригодны, только если оба собеседника с ними согласны, да и то далеко не всегда, поскольку оба запросто могут заблуждаться.
 
Попробуйте почитать те самые учебники, в частности, про апостериорные (условные, байесовские) вероятности. Подсказка: вероятность того, что я выиграю во втором тираже, равна 1/1000000; вероятность того, что я выиграю во втором тираже при условии того, что я выиграл в первом тираже, как это ни странно, тоже равна 1/1000000 ;-)
 

спустя 32 минуты [обр] VIG(2/839)[досье]

Алексей Рюмин aka Dwarf[досье]

Еще одна подсказка:

У меня есть два приятеля, Федя и Петя. Мы регулярно пьем пиво по пятницам. Так вот, в первом тираже обсуждаемой лотереи выиграл я, во втором — Федя, а в третьем — Петя.

Но, несмотря на то, что все победители — разные люди, после третьего тиража почему-то набежала толпа с канделябрами и отоварила всех троих ...

спустя 1 час 41 минуту [обр] Алексей Рюмин aka Dwarf(19/864)[досье]
VIG[досье] Ну право слово, лениво расписывать, что выиграют разные люди и выиграет один человек - события обратные, их суммарная вероятность равна 1, что события независимы и условная вероятность P(A|B) = P(A) и т.д. и т.п. :) События независимы, все, точка. Я могу участвовать одновременно в 1000 лотерей с вероятностью выиграть в каждой 1Е-6 :) К чему ваша подсказка? %)
Про пиво: вероятность события, что эти конкретные три человека будут победителями, 1Е-18 (общее число исходов - 1Е18, благоприятных - 1).
Не вижу, что тут парадоксального для человека, когда-то изучавшего тервер и матстат :) По крайней мере, я дожидаться канделябров при таком исходе не буду :)
спустя 10 минут [обр] VIG(2/839)[досье]

Алексей Рюмин aka Dwarf[досье]

Про пиво: вероятность события, что эти конкретные три человека будут победителями, 1Е-18 (общее число исходов - 1Е18, благоприятных - 1). Не вижу, что тут парадоксального для человека, когда-то изучавшего тервер и матстат :) По крайней мере, я дожидаться канделябров при таком исходе не буду :)

То-то и оно, что когда-то, и, как видно из аргументации, формально, не чувствуя предмета. И это вызывает опасения за Ваше здоровье, поскольку, хоть Вы этого и не ожидаете, канделябрами при таком исходе попользуют вполне справедливо :-) А почему справедливо, в этом-то вопрос и заключался ...

спустя 7 минут [обр] Алексей Рюмин aka Dwarf(19/864)[досье]
VIG[досье] Зря опасаетесь. Если вы мне скажете еще и вероятность того, что трое из участников лотереи пьют вместе пиво, я вам скажу, почему справедливо. Поэтому и дожидаться канделябров не буду, а сделаю ноги :)
спустя 7 минут [обр] Алексей Рюмин aka Dwarf(19/864)[досье]
VIG[досье] Да и уж определитесь, либо Вам доказывать (формально), либо чувство предмета :)
спустя 42 минуты [обр] VIG(2/839)[досье]

VIG[досье]

Потому, что вероятность того, что выиграют разные люди, практически равна 1

Подумалось, что Вы неправильно меня поняли. Я не возражаю против того факта, что "вероятность того, что выиграют разные люди, практически равна 1". Это на самом деле так. Я возражаю против слов "потому, что", ибо из сего факта ничего относящегося к заданному вопросу не проистекает ...

Если вы мне скажете еще и вероятность того, что трое из участников лотереи пьют вместе пиво, я вам скажу, почему справедливо.

А это не имеет значения. Никакого. Если любые трое собутыльников выиграют в трех тиражах лотереи, то их будет справедливо оприходовать канделябрами. Если победительницами (совершенно случайно) окажутся три Васиных любовницы, то на Васю справедливо откроется сезон свободной охоты. И так далее, и тому подобное. Вопрос и заключается в том, почему все это справедливо.

Да и уж определитесь, либо Вам доказывать (формально), либо чувство предмета :)

Чувство предмета нужно, чтобы заведомо неверные или не относящиеся к делу утверждения (это мягенько, более правильное выражение здесь "заведомая чушь") пореже приходили в голову и, тем более, высказывались. Знание предмета позволяет, при необходимости, доказать высказанное утверждение.

Чувство предмета нужно, чтобы "на лету" оценивать весомость высказываний оппонентов. Знание предмета позволяет разобраться в доказательном опровержении, сделанном оппонентом.

Ну так вот, позвольте [неполиткорректно] заметить, что мои знания по теории вероятностей и смежным вопросам и мое чувство этих предметов позволяют считать, что у Вас этих знаний (и этого чувства) явно недостаточно для содержательной дискуссии в данной области ... на что я и пытался намекивать выше по треду ...

спустя 36 минут [обр] Алексей Рюмин aka Dwarf(19/864)[досье]

VIG[досье] Даже не знаю что вам ответить :)

Вероятность того, что в первом тираже выиграет Федя, во втором — Петя, а в третьем — Коля тоже равна 10Е-18, но в этом случае ни у кого претензий почему-то не будет ...

(устало) Если эти люди - абстрактные Федя, Петя и Коля, то вероятность это события практически равна единице (извините, но вынуждаете повторяться). Если это конкретные Федя, Петя и Коля, то вероятность этого события 1Е-18. А дальше разговор уходит в плоскость, делекую от тервера - в плоскость взаимоотношений в обществе, подозрительности к устроителям лотерей и т.д. и т.п. Извините, это не ко мне. С точки зрения тервера для меня все очевидно, и предмет с этой точки зрения я чувствую достаточно хорошо. Побъют или нет - для меня не очевидно совсем, ибо если лотереи проводятся на острове в Тихом океане, и выиграли вожди трех главнствующих племен, то до канделябров дело вполне может и не дойти :) А может, у них так принято :) Извините, мне это не интересно :) В нашем обществе будет справедливо оприходовать канделябрами просто потому, что вероятность состоять в сговоре с организаторами лотереи при таком раскладе выше вероятности выиграть честно. К терверу это отношения уже не имеет.

спустя 10 минут [обр] Алексей Рюмин aka Dwarf(19/864)[досье]
VIG[досье] Еще вдогонку :) Предположим, независимо от того, кто выиграл, проигравшие берут выигравших(его) на руки и несут в ближайший кабак, где все выиграное благополучно пропивают. Это справедливо? И почему? :)
спустя 3 минуты [обр] Сергей Круглов(10/2057)[досье]
надо перемножить вероятность того, что 3 абстрактных человека окажутся собутыльниками на то, что они же 3 раза выиграют лотерею.
спустя 10 минут [обр] Алексей Рюмин aka Dwarf(19/864)[досье]
Сергей Круглов[досье] Я тоже этот вопрос понял дословно. Поэтому и спросил про вероятность совместного пития пива, а не водки или курения травки. Ну склад ума такой :) Если это просто три конкретных человека, то ничего умножать не надо.
OFF. Ушел пить пиво. Всем до завтра.
спустя 1 час 47 минут [обр] Даниэль Алиевский(2/125)[досье]

Эй, уважаемые, в какие пампасы вас заносит? Про пиво и канделябры, право слово, далеко не так интересно, как про парадокс Гемпеля и уверенность.

VIG[досье], что скажете про уверенность выпадения орла после однократного выпадения орла? Меняется ли она, как считаете? Мне кажется, попытка соотнести "уверенность" с неким числом похожа на мое соотнесение "знаний" с множествами. Может, удастся выяснить подобными мысленными экспериментами некие их свойства?

спустя 1 час 13 минут [обр] VIG(2/839)[досье]

Даниэль Алиевский[досье]

Вопрос, конечно, интересный. И ответить на него несложно, хотя будет ли ответ полезен, это еще вопрос :-)

Возможны две ситуации:

А. Я знаю, что монета правильная и бросают ее честно (испытания однородные и независимые). В этом случае моя уверенность как была 50%, так и осталась. Ничего интересного.

Б. Я не знаю, что монета правильная (хотя об этом мне и сказали или это оговорено в условиях задачи). В этом случае у меня есть ненулевая уверенность в гипотезе "меня обманывают" (хотя она может быть, эта степень уверенности, и очень маленькой, в зависимости от моей доверчивости, уважения к экспериментатору и т.д.).

Теперь проводим эксперименты и обнаруживаем некоторое регулярное поведение монеты, несовместимое с исходными предположениями. Число проведенных испытаний конечно, и, в принципе, любая комбинация их исходов равновероятна. Поэтому я никогда не смогу гарантированно утверждать, что меня дурят. Однако, с увеличением числа экспериментов моя уверенность в истинности этой гипотезы (она же в данном случае апостериорная вероятность) возрастает, стремясь к 1.

Далее возможны два исхода, в зависимости от ситуации и личного темперамента:

  1. Если апостериорная вероятность истинности гипотезы "меня обманывают" становится больше 1 минус эпсилон (где эпсилон — мой личный психологический порог), отказываюсь продолжать, а то и берусь за канделябр :-)
  1. Если вероятность угадать, как в следующий раз выпадет монета, рассчитанная на основе истинности гипотезы "меня обманывают" (в менее обидной формулировке "что-то здесь не так") повышается и становится больше 50% (экспериментально, с учетом всяких-разных доверительных интервалов), начинаю этим беззастенчиво пользоваться: выигрывать денежку, объявлять себя экстрасенсом-ясновидцем и тому подобное ...

 
Понимаете, все дело в том, что мы никогда не можем быть 100%-но уверены в чистоте эксперимента (честности устроителей лотереи, содержателей казино и т.п.). Именно поэтому в реальном мире можно утверждать: если монета выпала 100 раз подряд орлом вверх, то и на 101-ый раз, скорее всего, выпадет орел ...

спустя 14 минут [обр] VIG(2/839)[досье]

Даниэль Алиевский[досье]

Почти исчерпывающий анализ данного вопроса (правда, в несколько иной плоскости), приведен у Кнута, т.2, раздел "Случайные конечные последовательности".

спустя 1 день 13 часов [обр] Даниэль Алиевский(2/125)[досье]

VIG[досье]
Вы, кажется мне, ушли немного не в ту сторону. Монетка, похоже, сбивает с толку.

Дело не в том, обманывают ли нас. Я предлагаю рассмотреть следующую общую ситуацию.

Есть некоторое явление (природное, математическое - все равно). К этому явлению можно применить испытание (проверку), выдающую один из двух ответов A и B (да/нет, орел/решка, черный/белый). Про это явление мы можем ничего не знать, а можем знать довольно много; но мы изначально ровно ничего не знаем о простом факте: как часто наше испытание должно давать A, а как часто - B.

Если угодно говорить о монетке, то мы знаем, что такое монетка, знаем, что такое орел и решка, как их отличить, но совершенно не в курсе того, должны ли они выпадать равновероятно, или один чаще другого. Лучшим примером был бы следующий.

Я от нечего делать затеял идиотскую игру: все время говорю то "ку", то "ква". "Ку-ку-ку-ква-ква-ку-ква-ква..." Может, я это делаю случайно, может, у меня сложные правила, а может, это азбука Морзе и я читаю монолог Гамлета. Вы подходите ко мне, слышите мои речи и пытаетесь уловить закономерность. Не зная ничего о том, почему я говорю это.

И вот вопрос. Вы услышали "ку-ку-ку". А потом быстро убежали. Как изменилась ваша уверенность в том, что я всегда говорю "ку"?

А через 5 минут прибежал ваш товарищ и услышал "ква-ква-ква". И тоже убежал. И вот вы спорите: оба уверены в противоположных вещах.

Если до сих пор мы не ошиблись, то, как мне кажется, эта постановка вопроса полностью аналогична исходному парадоксу про ворон и коров. Только предельно упрощена: убраны маскировки вроде невероятного количества нечерных предметов, логически тривиальной "инверсии" импликаций, а также наличия 3-го исхода и предварительных знаний. Согласны?

спустя 3 минуты [обр] Даниэль Алиевский(2/125)[досье]
Нет, таки неполный пример. Надо еще, чтобы вы изначально знали: я нынче говорю только или ку, или ква. Допустим, вам заранее это сказали.
спустя 8 часов [обр] VIG(2/839)[досье]

Даниэль Алиевский[досье]

Вы, кажется мне, ушли немного не в ту сторону.

Отнюдь. Просто это другая сторона того же самого вопроса. Если смотреть в корень, то на самом деле мы обсуждаем не что иное, как понятие "знания" и механизмы приобретения оного, т.е. "познания".

Для Вашей "предельно упрощенной" постановки можно рассуждать так:

У меня сознательно или подсознательно имеются гипотезы, которых может быть очень много. Например:
  - вы всегда говорите "ку";
  - говорите "ку" и "ква" строго по очереди, но при встрече блондинки эта очередность сбивается;
  - говорите "ку" только по пятницам, а в остальные дни недели "ква";
  - говорите "ку" только с бодуна;
  - говорите "ку" или "ква" случайно с вероятностями q и 1-q;
  - говорите "ку" в N-ный раз, если одно из чисел N-1, N или N+1 простое, а иначе говорите "ква";
  - ... и так далее и тому подобное ...
  - и последняя "гипотеза", которая всегда присутствует, под названием "nothing of above".

Для каждой гипотезы у меня имеется некоторая априорная степень уверенности в ее истинности. Как устроена эта моя "метрика", неизвестно. У всех по-разному. Далее, по результатам экспериментов (по получении новой информации) эта метрика претерпевает изменения. Какие — именно это мы и обсуждаем.

Таким образом, [я считаю, что] имеет смысл говорить о трех компонентах процесса познания:

  1. Некоторое множество априорных гипотез (моделей). Штука субъективная, зависит от кругозора, образованности, воображения исследователя, его ассоциативных способностей, и так далее ...
  2. Некая [численная] мера для каждой из гипотез. Штука субъективная, зависит от некоего расплывчатого понятия, которое принято обозначать словом "интеллект". Здесь можно разглагольствовать об адекватности личности [адекватности чему?], бритве Оккама и тому подобных материях ...
  3. Mеханизмы (алгоритмы) изменения мер гипотез по результатам экспериментов (новой информации). Штука субъективная, тоже зависит от интеллекта, но, я бы сказал, больше от его количественных характеристик, типа "объема памяти", "мощности процессора" и прочих ...

Теперь рассмотрим виды возможных гипотез (моделей). Я бы разнес их на три категории:

  1. Детерминистические. Первое же противоречие "убивает" гипотезу.
  2. Стохастические. Никакие результаты экспериментов не могут опровергнуть гипотезу, но могут и изменяют ее меру (в данном случае — апостериорную вероятность).
  3. Смешанные. Выделяется некая детерминированная составляющая, а "остаток" считается случайным, с определенной функцией распределения. Здесь важно, можно ли выделить "полезный сигнал" из входной информации, искаженной случайными помехами.

Э-э-э, так как же изменится моя априорная уверенность, что вы всегда говорите "ку", если я услышу три "ку" подряд? По-видимому, можно утверждать, что возрастет. А вот какой она была вначале и насколько увеличится — одному аллаху известно ... оно зависит ...

спустя 5 дней [обр] Даниэль Алиевский(2/125)[досье]

VIG[досье]
Вот теперь вроде полностью согласен. "Не в ту сторону" - я имел в виду обманы: они излишне усложняют ситуацию.

Однако мне кажется, что исходный вопрос исчерпан. Если вы согласны, что возрастание уверенности в "ку" - эффект того же порядка, что и возрастание уверенности в черноте ворон от розовости коров - то, по крайней мере, изначальная нетривиальность ситуации пропадает. А разбираться в том, что это за уверенность такая, которая растет от повторения ку-ку - вопрос уже совершенно отдельный.

Я же пока пытаюсь понять, что за "знания" такие обозначают утверждения и как эти знания связаны с логическими связками. Пока такие мысли. Если не сочтете за офф-топик.

  1. Если "a и b" содержит в себе знание "a" (ну, может быть, "почти" содержит), то "a или b", по той же логике, должно быть под-знанием a (или "почти подмножеством"). Спрашивается, что за знание такое, что у "в огороде Бузина" и "в Киеве дядька" есть непустое пересечение? Эдак выйдет, что для любых 2 утверждений, если они только не противоречат друг другу, есть "общее для них знание".
  1. Видел я красивую конструкцию - квантор "тот, который" у Бурбаки. По идее, способен заменить кванторы общности и существования. A(тот x, что A) "сокращается" до "существует такой x, что A". Такой вот трюк, чтобы обойтись без квантора существования (а по аналогии, может быть, и дизъюнкций). Через отрицание приходим к общности.

А вот что он значит, если для всех x не-A? Обозначает ли он нечто? В чем смысл высказывания "та бабочка, которая человек, есть человек", ежели такой бабочки нет?

  1. А может быть, отличие "предметов" от "суждение" всего лишь иллюзия? Всякое общее утверждение, в конечном счете, сводится к тому, что некое свойство всегда верно ("для любого x..."). Но вместо того, чтобы говорить "свойство верно", можно указать класс всех x, для которых оно верно. (Уж не знаю, удастся ли при этом увернуться от парадоксов, когда классы оказываются своими элементами.) Так может быть, любое предикативное утверждение - всего лишь обозначение некего класса?..

Извиняюсь за сумбур, пока у меня самого все весьма туманно.

спустя 2 года [обр] Даниэль Алиевский(2/125)[досье]
Недавно оживил "воронью" тему на LiveJournal среди Java-истов:
http://community.livejournal.com/ru_java/348859.html
Один из участников наконец пришел к аналогичным рассуждениям насчет вероятности.
Однако теперь меня это решение почему-то не совсем устраивает...
спустя 4 года 5 месяцев [обр] Евгений Седов aka KPbIC(8/176)[досье]
сообщение промодерировано

Утверждения о том, что "вороны черные" и "вороны белые" исключают друг друга, но не исчерпывают все возможные варианты цветов. Если заменить "цвет" на "умение летать" (умеет/не_умеет — ворона умеет летать, и, следовательно, если не умеет летать — то не ворона), то поимка нелетающей розовой коровы не приведет к дуальному эффекту. Второму варианту, как и всем остальным возможным, дополнения к которым съедались в оригинальном объяснении розовым цветом, неоткуда будет взяться.

От стремительного переключения автора темы с дискретной математики на рабоче-крестьянский подход и обратно немного кружится голова.

Поимка розовой коровы доказывает (укрепляет нас в уверенности), что вороны бывают черного цвета. Или что вороны бывают белого цвета. А также любого другого цвета, кроме розового. Переберем все остальные цвета коров. Та же логика приводит нас к заключению, что поимка коровы какого-угодно цвета доказывает, что вороны могут быть любого цвета, кроме цвета коровы. То есть, окрас ворон отличается от окраса коров. Что, на мой взгляд, не противоречит "здравому смыслу".

Powered by POEM™ Engine Copyright © 2002-2005